Variable aléatoire

- --- ----------- ----------~ ~-, Solution: 1°/ Appelons X la variable aléatoire égale au nombre d'accidents recensés par jour; les valeurs possibles de X sont entières (variable discrète) et varient de 0 à 5. A chacune de ces valeurs Xi, on associe sa probabilité de réalisation Pi: nombre de jours d'apparitions divisé par 200. Nombre Xi d'accidents Probabilités Pi 0,43 ° 1 0,41 2 0,11 3 0,035 4 0,01 5 0,005 Le nombre moyen d'accidents par jours est alors l'espérance

faute. Moûtrer quc la probabilité que le candidat ait fait une faute et ùne seule, est égale à 0,375. ,1. On note X la variable aléatoire qui à chaque aiplet associe la nole obtenue a l'exercice. a) Déterminer les valeurs prises pâr lâ va able alêatoire X. b) Dorner la ioi de probabilité de la variable aléatoire X. c) Calculer 1'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. 2. 3. l. II D€uxième stratéqie : le candidat choisit de ne pas repondre à la première question, et répond

événements. A et B sont indépendants si et seulement si p(A ∩ B) = p(A) × p(B). Si de plus p(A) 6= 0, A et B sont indépendants si et seulement si pA(B) = p(B). Variables aléatoires discrètes indépendantes Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes prenant respectivement les valeurs x1, . . . , xn et y1, . . . , ym. X et Y sont des variables aléatoires indépendantes si et seulement si pour tout entier i tel que 1 6 i 6 n et pour tout entier j tel que 1 6 j 6 m p((X = xi) ∩ (Y = yi)) = p(X = xi) × p(Y

convergent si et seulement si converge vers En ) Théorème : Soit un estimateur de alors est convergent. , si est sans biais de et si , Preuve: Utilisons l’inégalité de Tchebychev Rappel ’ é é Tch ych soit Y une variable aléatoire tel que alors Définition: Un estimateur sans biais et convergent, est dit consistant 3. Estimateur asymptotiquement sans biais: Définition: Un estimateur est dit asymptotiquement sans biais si et seulement si: 5 IV. La statistique

placés dans une même boîte B. On tire simultanément et au hasard trois cartons de cette boîte. 1) Prouver que la probabilité que les trois cartons tirés portent les noms de trois élèves pratiquant 7 . le même sport, est égale à 57 2) Soit X la variable aléatoire égale au nombre de sports pratiqués par les trois élèves dont les noms sont inscris sur les trois cartons tirés. Déterminer la loi de probabilité de X. 1 III- (4 points)   Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct

type d'erreur sera observé si le signal envoyé est 1 et 2 + E < 0, 5. Le second type d'erreur sera observé si le signal envoyé est 0 et -2 + E > 0, 5. Ainsi La durée de fonctionnement d'un ordinateur avant sa première panne est une variable aléatoire continue X dont la densité est donnée par Trouver la probabilité que la durée de fonctionnement soit comprise entre 50 et 150 heures. i) Trouver la probabilité que l'ordinateur fonctionne moins de 100 heures. Solution. i) Comme http://fribok

Une table est mise en vente au tarif normal si elle possède au plus une planche fragile. Elle n'est pas mise en vente, si elle possède strictement plus de 3 planches fragiles. Elle est vendue en promotion dans les autres cas. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de planches fragiles par table. Il est précisé que le nombre de combinaisons de 2 éléments parmi 12 est égal à 66 et que le nombre de combinaisons de 3 éléments parmi 12 est égal à 220. 1) Donner en la justifiant, la loi de probabilité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Fonction d’une variable réelle, première partie 3.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Une idée intuitive de limite... . . . . . . 3.1.2 Limite en a, a ∈ R . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Limite en +∞ . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Limite en

un décalage entre la valeur vraie et la valeur mesurée (décalage fixe ou à variation lente). - Ce type d’erreur est difficile à compenser, nécessite un étalonnage précis de la chaîne de mesure. - Les erreurs statistiques - C’est une variation aléatoire de la valeur mesurée autour de la valeur la plus probable. Cette erreur suit une loi statistique particulière. (nécessite de connaître le modèle probabiliste du système mesuré) •CMI 2009-2010 P. NAYMAN 20 Les erreurs statistiques La présence

Cette notion concerne les dispositifs non réparables. • Dans le cas de dispositifs réparables, on parle de MTBF (Mean Time Between Failures) Z. Cherfi 20 Rappels de proba-stat • Evénement aléatoire: C’est un événement qui se produit avec une probabilité P(E) (Une défaillance est un événement aléatoire) Soient deux événements A et B dont les probabilités d’occurrence sont P(A) et P(B). P(A ∩ B): probabilité que A et B se réalisent P(A ∪ B): probabilité que A ou B se réalise Z. Cherfi 21 Rappels