Variable aléatoire

le plus simple: une variable endogène est expliquée par une variable exogène Soit la fonction de production keynésienne: • – • • • • C=a0+a1Y C=consommation Y=revenu a1=propension marginale à consommer a0=consommation autonome ou incompressible Économétrie Francesco Quatraro – 2010/2011 2 Le modèle de régression simple • La variable consommation est appelée variable à expliquer ou variable endogène • La variable revenu est appelée variable explicative ou exogène

Les faiseurs de marché cotent de plus en plus les options en termes de leur volatilité implicite. C’est là une façon de réhabiliter le modèle de Black et Scholes qui suppose que la volatilité du sous-jacent est constante alors qu’elle est hautement variable. Cet article, qui se veut très empirique, propose d’abord une simulation en langage Visual Basic de la volatilité stochastique dont le but est de calculer le prix d’une option dont le sous-jacent est une obligation à coupon zéro. Nous comparons le

pour tout couple(P,Q) de Ex E, tr(P Q) tr(Q P). de syméJrique E. b) Établir alors que rp1estun endomorphisme orthogonaux dans E. (çe - Id) et Ker (çe + IrI) sont supplémentaires c) En déduire que Ker Exercice3 On considèreune suite (X,),>r de variables aléatoiresdéfinies sur le même espaceprobabilisé de et (e, A,P), mutuellementindépendantes, qui suiventtoutesla loi exponentielle paramètre1. n S Onpose n: Z Xr. de et I'espérance la variance S,. Donner quelleestla loi suiviepar^S,. l) Rappeler

montant, arrondi à l’euro, de la cotisation annuelle prévue pour 2015. b) Déterminer en quelle année la cotisation annuelle aura doublé par rapport à celle de 2011. Justifier la réponse. Exercice 2 (5 points) Partie A La série statistique à deux variables suivante décrit la superficie certifiée de production biologique exprimée en hectares (ha) en France de 2004 à 2009 : est la superficie pour l’année 2003 + . Remarque : on ne dispose pas de données pour l’année 2005. Année 2004 2006 2007 2008 2009

cet exercice, tous les résultats demandés seront arrondis à 10−3 près. Partie A : Conditionnement des pots 1. On veut p(X 6 49). Avec la calculatrice p(X 6 49) ≈ 0.202. 2. On note σ ′ le nouvel écart-type, et Z la variable aléatoire égale à X −50 σ′ a. La variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite. b. Une valeur approchée du réel u tel que p(Z 6 u) = 0,06 est u ≈ −1.555. c. Z = X −50 σ′ ⇔ X = σ ′Z +50 p(X 6 49) = 0,06 ⇔ p ¡ σ ′Z +50 6 49¢ = 0,06 ⇔ p µ Z 6 − 1 σ′

d'une probabilité, utiliser un arbre de probabilité, découvrir la notion d'indépendance en probabilité élémentaire, apprendre quelques règles de combinatoire et travailler sur quelques variables aléatoires élémentaires Principaux éléments[modifier le code] Univers[modifier le code] Lors d'une expérience aléatoire, c'est-à-dire soumise au hasard (de alea (latin) le hasard, les dés), on commence par faire l'inventaire de tous les résultats possibles. L'ensemble de tous les résultats possibles

d'évènements aléatoires qui constituent le message émis Source discrète : alphabet latin, disque dur, etc. Source continue : TV, radio, etc. Nous supposons ○ ○ La source est discrète et finie (alphabet fini) La source est aléatoire : à quoi servirait-il de transmettre un message s'il est connu à l'avance de son destinataire ? Source est stationnaire : son fonctionnement est indépendant de l'origine des temps choisi La source est sans mémoire Canaux aléatoires (perturbations aléatoires) Le destinataire

b. Par conséquent, qn = 0.35 × ( −0.6 )n −1 et comme pn = qn + 0,4, on a pn = 0.4 + 0.35 × ( −0.6 )n −1 . c. On a alors p6 = 0.4 + 0.35 × ( −0.6 )5 ≈ 0.373 arrondi au millième (cohérent avec l’énoncé de la partie 2 !). PARTIE 2 Notons X la variable aléatoire qui désigne le nombre de déplacement du service durant ce mois. Les interventions dans les différentes entreprises étant supposées indépendantes, X suit une loi binomiale de paramètre n = 10 et p = 0.373. Ainsi, p ( X ≥ 1) = 1 − p ( X = 0 )

– 0,07= 0,93 2. a) X est la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées. On a 5 cinq candidats donc cinq épreuves identiques avec probabilité d’être recrutée p=0,07 et celle de ne pas être recrutée : q=.0,93. X suit bien une loi binomiale de paramètre n et p : n=5 et p=0,07. b).Probabilité pour que deux des candidats soient retenus : P(X=2)= (52)(0,07)2 x (0,93)2 = 0,039. 3) Soit n le nombre minimum de dossier. Soit p(Z) avec Z la variable aléatoire pour le nombre de candidats

cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Partie A : Chaque jour, Antoine s’entraine au billard américain pendant une durée comprise entre 20 minutes et une heure. On modélise la durée de son entrainement, en minutes, par une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [ 20 ; 60 ]. 1. Calculer la probabilité p pour que l’entrainement dure plus de 30 minutes. 2. Calculer l’espérance de X. Interpréter ce résultat. Partie B : Dans cette partie les probabilités seront