Variable aléatoire

+ ** n1 n 2 ) & Population 1 X2 → N(µ2 ; σ2) S’en rappeler pour les comparaisons de moyennes… II – Echantillonnage & estimation 2V314 - 2015-2016 – © D. Lamy Distribution d’échantillonnage et intervalle de variation d’une proportion X variable aléatoire F = proportion d’individus ayant le caractère C F = n Distribution d’échantillonnage de F " X % np E(F) = µF = E $ ' = #n& n E(F) = p € # X & Var( X ) npq pq Var(F) = σ = Var% ( = = 2 = 2 $n' n n n 2 F p(1 − p) Var(F ) = n II – Echantillonnage

CCF n°1 Durée : 2h00 Matériel fourni : formulaire de mathématiques Tous les calculs doivent figurer sur la copie. La note tiendra fortement compte de la rédaction qui devra donc être particulièrement soignée. Exercice 1 : Statistiques à deux variables Le tableau suivant donne l’évolution de la population de l’Inde de 1951 à 1991. Année 1951 1961 1971 1981 1991 Rang 1 2 3 4 5 Population (en millions) 361 439 548 683 846 Sauf consigne particulière, les résultats seront arrondis au millième

Exercice 5 1) A la calculatrice :  = 3 ≈ 0,012 ;  = 17 ≈ 0,00004 ;  = 10 ≈ 0,117 2)  ≤ 1 ≈ 0,0005 ;  ≥ 18 = 1 −  ≤ 17 ≈ 0,99996 ;  ≤ 15 ≈ 0,9997  ≥ 10 = 1 −  ≤ 9 ≈ 0 0,840 Exercice 6 On considère une variable aléatoire  qui suit une loi binomiale de paramètres 50 et 0,03. 3) Calculer  = 3 ;  = 17 ;  = 10 à 10 près. 4) Calculer  ≤ 1 ;  ≥ 48 ;  ≤ 15 et  ≥ 10 à 10 près. 1)  = 3 ≈ 0,126 ;  = 17 ≈ 4 × 10# ;  = 10

Fermat, vers 1650, et ceux de Laplace, 50 ans après de Moivre. Ainsi, c'est dans cet ouvrage que de Moivre explique comment calculer la probabilité d'un événement aléatoire qui dépend de plusieurs autres événements : c'est la formule des probabilités composées. De Moivre est aussi le premier à s'intéresser à la convergence des variables aléatoires, sous l'optique suivante : dans quelle mesure peut-on être sûr que lorsque l'on lance un grand nombre de fois un dé, la fréquence observée d'apparition du nombre

Loi binomiale : révisions Epreuve de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues contraires : l’une appelée SUCCES (de probabilité p) est notée S, l’autre appelée ECHEC (de probabilité q = 1 − p) est notée S . Exemple : Une urne contient 10 boules : 7 bleues et 3 rouges, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard et on considère comme SUCCES le fait de tirer une boule rouge. Il s’agit d’une épreuve de Bernoulli avec pour succès S : « Tirer une boule

Les études quantitatives Les études quantitatives représentent la majorité du marché des études, en volume comme en valeur (environ 80%). L’objectif des études quantitatives est de quantifier un certain nombre de variables auprès d’une population de référence qui est -ou fait partie de- votre cible marketing. Elles font principalement appel à la sociologie pour l’élaboration des questionnaires, et à la statistique pour tout ce qui concerne le traitement et l’analyse des informations recueillies

d’extinction du processus est solution de θ = E(θD ) = F (θ), ou F est la fonction génératrice de D. On a en fait plus précis : Théorème 1.2. La probabilité q d’extinction du processus de branchement est le plus petit point fixe de F . Si la variable aléatoire Z possède une espérance m, et que m ≤ 1, alors 1 est le seul point fixe de F sur l’intervalle [0; 1], et la probabilité d’extinction est 1. Sinon, F admet exactement un point fixe sur [0; 1[, qui est la probabilité d’extinction du processus

combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs ? 2. On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel : «rand(1, 50)» permet d'obtenir un nombre entier aléatoire appartenant à l'intervalle [1 ; 50] l'écriture « » désigne l'affectation d'une valeur à une variable . Variables sont des variables du type entier Initialisation Traitement Tant que ou ou ou ou ou ou ou ou ou Début du tant que Fin du tant que Sortie Afficher a)

Il est aussi envisageable pour un sociologue de construire son échantillon en choisissant un ensemble de ménage puis, à l’intérieur de chaque ménage, une personne de manière aléatoire. Cet individu ne doit en aucun cas être choisi selon des critères de disponibilité, de préférence, mais bien selon des principes aléatoires stricts. Aussi, pour réaliser ce choix, nous ferons appel à la méthode dite de « l’individu Kish ». Cette méthode consiste en la sélection d’un individu au hasard parmi les individus

probabilité qu’il y en ait au moins une qui soit contre la construction du barrage et ne soit pas écologiste ? (On suppose que les choix des cinq personnes sont indépendants les uns des autres). (1,5 pt) On introduit la variable aléatoire X correspondant au nombre de personne(s), parmi les cinq choisies au hasard, contre la construction du barrage et qui ne soit pas écologiste. Les valeurs possibles de X sont : {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}. On s’intéresse à l’événement : X 1. L’événement