Variable aléatoire

exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Partie A : Chaque jour, Antoine s’entraine au billard américain pendant une durée comprise entre 20 minutes et une heure. On modélise la durée de son entrainement, en minutes, par une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [ 20 ; 60 ]. 1. Calculer la probabilité p pour que l’entrainement dure plus de 30 minutes. 2. Calculer l’espérance de X. Interpréter ce résultat. Partie B : Dans cette partie les probabilités seront

Outils pour la Biologie – Deug SV – UCBL D. Mouchiroud (25/02/2003) ………………………………………………………………….................................................. si n est l’effectif total étudié, l’effectif théorique attendu, ti pour la modalité i de la variable aléatoire X est : (loi des grands nombres en probabilité) ti = n * pi Quelque soit l’hypothèse nulle testée, la stratégie est la même pour tous les tests du χ2. La statistique du χ2 calculée (χ2obs.) est comparée avec la valeur seuil, χ2seuil lue sur

Probabilités. Variable aléatoire Entraînement (page 162) EXERCICES DE TÊTE b) 1 3 23 p(X = 5) = 0,3. 24 0,16 + 0,32 + 0,46 + 0,60 > 1. 2 3 26 a) (0,4)2 = 0,16 ; 27 1. p(X = 8,1) = 1 – (0,1 + 0,3 + 0,2) = 0,4. e 2. On ne peut pas déduire la 4 valeur prise par X. 28 1. a i 2. 1 2 p(X = ai) 1 2 1 2 ai 1 2 p(X = ai) 2 3 1 3 2 3 1 3 –1 0 1 0 2 3 –1 –2 –1 b) (0,6)2 = 0,36. VARIABLE ALÉATOIRE 2

Exercice 2 A. Loi normale 1. Calcul de P (9,5 ≤ X ≤ 10,5) La variable aléatoire Xsuit la loi normale N ( 10 ; 0,21 ), la variable aléatoire T = X − 10 0,21 centrée réduite . Si X=9,5 alors T = 9, 5 − 10 =− 0,5 suit la loi normale 0,21 Si X=10,5 alors T = 10, 5 − 10 0,21 0,21 ≃ −2,38. = 0,5 0,21 ≃ 2,38. P (9, 5 ≤ X ≤ 10, 5) =P(−2,38≤T ≤2,38)

8 Partie 5. Devoirs Partie 1 Introduction et Modèle Statistique CHAPITRE 1 Introduction Considérons un problème de Fiabilité où l’on étudie la durée de vie X d’un matériel. Il est raisonnable d’admettre que celle-ci est aléatoire et X est alors une variable aléatoire (v.a.) de fonction de répartition (f.d.r.) F . Supposons que l’on soit précisément intéressé par l’évaluation de la probabilité que le matériel soit en marche après un temps t0 de fonctionnement, c’est à dire évaluer ¯ F (t0 )

marché financier est le lieu sur lequel des titres (actions, obligations…) peuvent être achetés ou vendus (ou émis) • Les portefeuilles sont formés par des combinaisons de ces titres. Les rentabilités des différents titres sont en général aléatoires • En univers aléatoire les actifs financiers différent entre eux par l’espérance mathématique des flux qu’ils génèrent et par leur risque L’utilité et les courbes d’indifférence • En théorie financière, la maximisation de l’utilité est le critère incontestable

autres, la variable 1 aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres p = et n = 20. 3 b. On a donc : p(X = 5) = 20 1 × 3 5 5 × 1− 1 3 20−5 = 15504 × 215 ≈ 0,1457. 320 A. P. M. E. P. Baccalauréat S c. La moyenne pour les 20 personnes d’aller au 2e étage est égale à l’espérance mathématique de la variable aléatoire X , soit : E(X ) = n × p = 1 20 20 × = ≈ 7. 3 3 Un peu moins de 7 personnes sur 20 vont au 2e étage. 1 4. On reprend la variable aléatoire

personnes parmi les habitants de cette ville. 1) Soit X la variable aléatoire qui associe, à chaque échantillon de 100 personnes, le nombre d'adultes qu'il contient. a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b) Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de la variable X. 60 c) Calculer la probabilité de l'événement : X = 60 . On prendra C100 ≈ 1,3746 × 10 28 . 2) On approche la variable X par une variable Y suivant une loi normale n ( m , σ ). On précisera la

 de brefs rapports.    Unité U2  MATHEMATIQUES    120 heures  Coefficient 2  • Fonctions  d'une  variable  réelle  (principalement  fonctions  logarithme  népérien  et  exponentielle)  • Calcul  de  primitive  et  calcul  intégral  (calcul  d'aire,  valeur  moyenne,  intégration  par  parties)  • Suites numériques (suites arithmétiques et géométriques)  • Statistique descriptive (séries statistiques à une et deux variables, manipulation de la  calculatrice)  1 • • Calcul  des  probabilités  sur  les 

représentative admet, au point A d’abscisse a, une tangente passant par A de coefficient directeur f (a). Une équation de cette tangente est y = f (a) (x − a) + f (a). Loi de probabilité discrète : • E est une expérience aléatoire et Ω l’univers associé. Soit une variable aléatoire X définie sur Ω. X(Ω) étant l’ensemble des valeurs prises par X, on a X(Ω) = {0, 1, 2, 3, . . . , n}. La loi de probabilité de X attribue à chaque valeur xi la probabilité pi de l’événement (X = xi ) constitué de tous les