Variable aléatoire

blancs ». 7 . 15 b. On note B l’évènement « obtenir deux jetons portant des numéros impairs ». Calculer la probabilité de B. Démontrer que la probabilité de l’évènement A est égale à c. Les évènements A et B sont-ils indépendants ? 2. Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de’ jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané. a. Déterminer la loi de probabilité de X . b. Calculer l’espérance mathématique de X . E XERCICE 4 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

P (D ∩ A) + P (D ∩ B) car les événements (D ∩ A) et (D ∩ B) sont incompatibles = 0, 006 + 0, 02 = 0, 026. On a P (D) = 1 − P (D) d’où P (D) = 0, 974. C. Loi normale X − 15 X suit la loi normale de moyenne 15 et d’écart-type 3, alors la variable aléatoire T = suit la loi 3 normale centrée réduite. Calculons P (X ≥ 10) : P (X ≥ 10) = 1 − P (X ≤ 10) 10 − 15 =1−P T ≤ 3 5 =1−P T ≤− 3 5 =1−Π − 3 5 =1− 1−Π 3 5 =Π 3 ≈ Π(1, 67) ≈ 0, 952. D. Intervalle de confiance 1. Une estimation

10 et BC= 5 2 ; BC2 = AB2 + AC2 d’où la réponse c. E XERCICE 2 6 points Commun à tous les candidats Partie A Restitution organisée des connaissances L’objectif de cette partie est de démontrer le théorème suivant : Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel α appartenant à l’intervalle ]0 ; 1[, il existe un unique réel strictement positif χα tel que P −χα X χα = 1 − α. Soit f la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels R par

que le client achète les deux options b. Calculer la probabilité pour que le client achète l'option B (avec ou sans l'option A) c. Les événements « acheter l'option A » et « acheter l'option B » sont-ils indépendants? On note X la variable aléatoire qui, à chaque client choisi au hasard, associe sa dépense en euros. a. Déterminer la loi de probabilité de X (on pourra présenter le résultat sous forme d'un tableau). b. Calculer E(X), l'espérance de X ; quelle en est la signification

On considère un actif dérivé F2 -mesurable H : Ω → R+ (c’est un un contrat assurant à son détenteur le flux H à la date terminale 2). Il est dit réplicable (ou simulable) s’il existe un portefeuille autofinancé Φ telle que V2Φ = H. On note H la variable aléatoire définie sur Ω par : H(ω1 ) = 0, H(ω2 ) = 0.25, H(ω3 ) = 4.25, H(ω4 ) = 1.5, H(ω5 ) = 3.5. 3.a. Déterminer le prix de l’actif aux dates 0 et 1, i.e. la valeur du portefeuille associé à une stratégie autofinancée Φ permettant de dupliquer l’actif

(que l’on pourra présenter à l’aide d’un arbre). 2. Quelle est la probabilité pour que le candidat donne la bonne réponse : a. à la première question posée ? b. à une seule des questions posées ? c. aux quatre questions posées ? 3. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de réponses correctes données par le candidat. a. Donner les différentes valeurs prises par X . b. Donner la loi de probabilité de X . c. Calculer l’espérance mathématique de X . 4. Un candidat sera reconnu apte s’il donne au

 Calculer , la probabilité de l'évènement  sachant l'évènement  réalisé. En donner une valeur arrondie à 10-4.  5. On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l'établissement. Soit  la variable aléatoire qui donne le nombre d'élèves favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. Le nombre d'élèves étant suffisamment grand, on considère que  suit une loi binomiale.      a) Préciser les paramètres de cette loi binomiale

projection : approche géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Représentations graphiques et aide à l’interprétation . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Les individus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Les variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Propriétés asymptotiques des estimateurs de composantes principales . . . . . 3.6 ACP par

en très grande quantité, le comprimé d’un médicament. 1. Un comprimé est conforme si sa masse est comprise entre 890 et 920 mg. On admet que la masse en milligrammes d’un comprimé pris au hasard dans la production peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale N (µ, σ2 ) de moyenne µ = 900 et d’écart-type σ = 7. a. Calculer la probabilité qu’un comprimé prélevé au hasard soit conforme. On arrondira à 10−2 . b. Déterminer l’entier positif h tel que P (900 − h X 900 + h)

méthode de Box-Jenkins avec la méthode de régression. En analyse de régression, nous essayons de trouver les variables causales qui expliquent la série observée. L’hypothèse fondamentale ici est que la boite noire génératrice de y est approximée par une régression linéaire. 1 METHODE DE REGRESSION Boite Noire (Non-Observée) mais Approximée Observée (Output) Input Matrice des Xβ+u Y Variables Causales (X) 2 Méthode de Box-Jenkins φ - 1(L) εt wt at 3 (1-L)- d yt 2.2 Les Processus Stationnaires