Variable aléatoire

note R2 , il gagne 45 euros. Enfin, s'il obtient moins de 2 boules rouges, événement que l'on note E, il ne gagne rien.     1. Montrer que les probabilités des événements R2 et R3 sont : P(R2) 5 et P(R3) 12 1 . 12 2. On note X la variable aléatoire donnant le gain du joueur. Donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique. 3. Dans cette question on modifie les règles du jeu de la façon suivante : – Si le joueur réalise les événements R3 ou R2 il ne gagne plus d'argent

investir celle-ci dans différents actifs risqués a = 1, ..., A. Chaque actif est défini par son prix qa (fixé à la période 0), par son revenu futur. Celui-ci e est généralement incertain et donc représenté par une variable aléatoire Va . Le prix et le e revenu alétoire définissent donc le rendement aléatoire du titre Ra : e Va e Ra = qa (1) Le rendement espéré et la variance de l’actif a sont notés Ra et σ 2 . Si un actif certain a était présent, son indice serait 0. Chaque agent doit déterminer la part xi

C’est la somme de l’erreur systématique (erreur de justesse) et de l’erreur aléatoire (défaut de fidélité). Lors de mesures répétées nous obtenons généralement une dispersion des résultats ; si les erreurs de mesure sont aléatoires un traitement statistique permet de connaître la valeur la plus probable de la grandeur mesurée et de fixer les limites de l'incertitude. L'erreur systématique se superpose aux erreurs aléatoires. Elle est provoquée par un mauvais réglage ou un mauvais étalonnage. Elle

partie suivante avec une probabilité de 0,1. 1. On appelle : E1 l’événement « le joueur perd la première partie » ; E2 l’événement « le joueur perd la deuxième partie » ; E3 l’événement « le joueur perd la troisième partie ». On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des trois premières parties. On pourra s’aider d’un arbre pondéré. a. Quelles sont les valeurs prises par X ? b. Montrer que la probabilité de l’événement (X = 2) est égale à 0,031 et que celle

notée p M (R). p M (R) = p(R ∩ M) 0,135 = = 0,818. p(M) 0,165 Partie B Un produit de nettoyage conditionné dans des flacons est aussi vendu par le magasin. Le volume de produit contenu dans un flacon, en millilitres (mL), est modélisé par une variable aléatoire V . On admet que V suit une loi normale d’espérance 250 et d’écart type 5. Pour procéder à un contrôle, on prélève un flacon au hasard dans le stock du magasin. 1. Donnons la probabilité que le volume de produit contenu dans le flacon prélevé

choix sont indépendants. Nous sommes en présence d’un schéma de Bernoulli : les événements sont indépendants, il y a succès : « les vêtements fabriqués ne présentent aucun défaut » et échec. Les paramètres sont : p = 0, 8096 et n = 3 et X est la variable aléatoire donnant le nombre de succès, c’est-à-dire le nombre de vêtement sans défaut. Ainsi : p(X = 3) = 3 × 0, 80963 × (1 − 0, 8096)0 3 0, 531 Exercice 3 1. La fonction f est définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels f (x) = e−2x+1 On

avait choisie. Déterminer la probabilité qu'il ait choisi la destination A (on donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible). 4°/ L’enquête a porté sur 1000 clients pris au hasard indépendamment les uns des autres. On note Y la variable aléatoire dénombrant le nombre de clients satisfaits. a) Quelle est la loi de probabilité suivie par Y ? b) Déterminer la probabilité que 75% des clients soient satisfaits. c) Déterminer l’espérance mathématique de Y ainsi que la variance et l’écart type

6 13 avril 2011 Baccalauréat S A. P. M. E. P. 4. Pour une partie, la mise est fixée à 2 . Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5 . S’il gagne en trois lancers, il reçoit 3 . S’il perd, il ne reçoit rien. On note X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour X sont donc : −2, 1 et 3. a. Donner la loi de probabilité de X . b. Déterminer l’espérance mathématique de X . Le jeu est-il favorable au joueur ?

Le camion‐benne tombe en panne le premier mois (considéré comme un échec)   • Le camion‐benne ne tombe pas en panne le premier mois (considéré comme un  succès)   p = 0,9      q = 0,1    On répète 10 fois de manière indépendante cette épreuve    Z est la variable aléatoire qui compte le nombre de succès    Z est donc une loi binomiale de paramètres B(10 ; 0,9)  0,9 0,1 2. 10 0,349    D.  1. si   est dans l’intervalle [24,961 ; 25,039] on accepte l’échantillon  si   n’est pas dans l’intervalle [24,961 ; 25,039] on rejete l’échantillon au seuil de confiance 

[IE(X) + IE(Y )]2 − IE[(X + Y )2 ]. Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2[IE(XY ) − IE(X) IE(Y )]. 11. Une variable de Bernoulli prend deux valeurs a ou b quelconques. les valeurs 0 ou 1. 12. Soit X une VAR d’espérance nulle. Alors X − σ(X) est centrée. une infinité de valeurs. les valeurs -1 ou 1. X − σ(X) est réduite. X est centrée, réduite. σ(X) 13. Une variable aléatoire binomiale est la somme de n VAR de Bernoulli. la somme de n VAR indépendantes de Bernoulli. le produit