Variance

1, 0, 0). 1.Calculer sa moyenne et sa variance empiriques. 2.En supposant que les données de cet échantillon sont des réalisations d’une variable de loi inconnue, donner une estimation non biaisée de l’espérance et de la variance de cette loi. 3.On choisit de modéliser les valeurs de cet échantillon par une loi binomiale B(2; p). Utiliser la moyenne empirique pour proposer une estimation ponctuelle pour p. 4.Avec le meme modèle, utiliser la variance empirique pour proposer une autre estimation

….Xn , n variables aléatoires indépendantes de même loi, d’espérance mathématique m et de variance . Montrer que -m) → N(0, ). Exercice 5 : Soit ( un échantillon de variables aléatoires suivant une loi normale N(2, 4) avec n=25. I. 1) Déterminer la loi de la variable = 2) Calculer P (; P ( ; P ( 3) soit a) déterminer k pour que y suit une loi bien déterminer, en déduira son espérance et sa variance. b) - déterminer a tel que P( - déterminer b tel que II. On suppose que m est inconnue

test………………………....8 3. Tests de conformité…………….……………….………………………..………….…10 3.1. Comparaison d’une moyenne observée et une moyenne théorique…..10 3.1.1. Principe du test………………………………………………………..……… ………...10 3.1.2. Variance de la population connue……………….……..……… ……………10 3.1.3. Variance de la population inconnue……………….……..……… …………11 3.2. Comparaison d’une fréquence observée et une fréquence théorique.13 3.2.1. Principe du test………………………….………………………………..……… ….…13 3.2.2. Statistique du test……………………………………………………

satisfaisante que la valeur du paramètre s’y trouve. Nous utiliserons, en dernier, des données artificielles (par simulation) pour montrer comment mettre en œuvre des tests sous logiciel R: le test d’égalité de moyennes et le test d’égalité de variances. 3 Chapitre I: l’estimation ponctuelle I. Introduction : Le but de la théorie de l’estimation et de choisir, parmi toutes les statistiques possible, le meilleur estimateur. C’est-à-dire celui qui donnera l’estimation ponctuelle la plus

pas OK (proba = β) H0 rejetée Test pas OK (proba = α) Test OK (proba = 1 - β) Comparaison à une moyenne théorique: différents cas de figure (même problème que plus tôt quand on ne connaît pas la variance: on l’estime) Est-ce que n≥30 ? NON OUI Connaît-on la variance ? NON Connaît-on la variance ? NON OUI On estime: On considère On doit supposer la normalité de la variable mesurée (Xi~N(μ,σ)) On estime: On considère Comparé à εα Comparé à εα (Table loi normale) (Table loi normale) OUI

construire d'autres coeffipar : devaleurs cients autorisant danscertaines ænditions la comparaison o Pourunesérieregroupée classes '. n1,n2,... n1,la x1, x2, x,( ..., et d'etfectifs associés , desséries statistioues d'échelle oudenature différentes. variance : s'écrit Q " -Q . oL'intervalle interquartile relatif -:Adonneune , n , . l r , _4 , v a r ( x=): - , , j , mesure de la dispersion d'unesérie,indépendante de I'unité employée. " formule quenous " (expression appellerons dedéfinition /,\ - a\

hypothèses sur ces variables aléatoires εt. Plus précisément, on fait des hypothèses sur son espérance mathématiques ( moyenne), sa variance, la covariance entre εt et εt+1 et éventuellement sur la loi de probabilité de εt. On suppose généralement que les perturbations résultent de tirage indépendant sur un échantillon à partir d’une Loi Normale d’espérance nulle et de variance constante. εt↝N( 0 ;σ ε 2 ) Cette expression signifie que les perturbations aléatoires sont normales Indépendantes et Identiquement

populations ont même variance Le test de Fisher est sensible à la violation de ces hypothèses - il n'est pas robuste. s 8© Guy Cucumel 2001 Hypothèses de l'ANOVA H0: µ1 = µ2 = µ3 = ... = µk " Toutes les moyennes des poulations sont égales H1: Les moyennes des populations ne sont pas toutes égales " Au moins une des moyennes est différente " Ne signifie pas: µ1 ≠ µ2 ≠ ... ≠ µk X f(X) µµµµ1 = µµµµ2 = µµµµ3 X f(X) µµµµ1 = µµµµ2 µµµµ3 9© Guy Cucumel 2001 Principe On estime la variance selon deux approches:

vue en cours : σ2 = Cr2 − 2Br + A D avec σ 2 la variance du portefeuille et r le rendement attendu. ˆ tracer la fronti`re efficiente avec r en ordonn´e et σ en abscisse. e e ˆ D´terminer la composition des portefeuilles caract´ristiques : e e ˆ Le portefeuille de variance minimale πmin = 1 −1 1 Q 1 = T −1 Q−1 1 C 1 Q 1 V´rifier num´riquement que le portefeuille de variance minimale est atteint pour r = e e B/C et que la variance minimale est 1/C (voir l’annexe). Daniel Herlemont

• Pour étudier le degré de convergence qui relie deux variables quantitatives (coefficient de corrélation) • Pour étudier le degré de significativité d’une relation entre deux variables ( par le test de khi 2 ou à partir d’une analyse de variance avec le test F de Fisher) III. Analyse des relations entre deux variables Une variable statistique à deux dimensions est une variable conjointe, couple de deux variables statistiques à une dimension. 1. Les tableaux statistiques Une telle