Variance

au programme nous avons le Theor`me 11. Si FX est continue sur R d’une part et d´rivable sur R priv´ d’au plus un nombre fini e e e de points d’autre part, alors X est une variable continue et admet f := FX pour densit´. e 7 7.1 Esp´rance, variance e Formules ∞ Soit g une fonction de R dans R. Si X est discr`te, on a e E(g(X)) = k=−∞ g(k)P(X = k). si cette somme est bien d´finie (s´rie convergente !). e e Si X est continue de densit´ fX , on a e +∞ E(g(X)) = −∞ g(x)fX (x)dx

pas considérables, ils n’ont pas d’effets très forts sur les acquis des élèves. Plusieurs revues de littératures ont essayé d’en chiffrer son influence : En  1997, une étude montre que l’école explique en moyenne 8 % de la variance(écarts) des acquisitions des élèves. La variance est une mesure du degré de dispersion d'un ensemble de données. On la calcule en prenant la moyenne de l'écart au carré de chaque nombre par rapport à la moyenne d'un ensemble de donnée. En 1988, une autre étude met en avant

par rapport à l’espérance mathématique, il est égal à la racine carré de la variance V(X). VX= i=1nPi*xi2- E(X)² σX=V(X) En matière de choix d’investissement on calcul dans un premier temps les espérances mathématiques et les variances des flux net de trésorerie annuel. Pour des prévisions sur 3 ans on obtiendra donc 3 espérances mathématiques et autant de variances. Puis on calcul l’espérance mathématique, la variance et l’écart type de la VAN. -------------------------------------------------

moustache ». ı a R´sum´s on dispose d’une s´rie d’indicateurs qui ne donne qu’une vue partielle des e e e donn´es : effectif, moyenne, m´diane, variance, ´cart type, minimum, maximum, ´tene e e e e due, 1er quartile, 3`me quartile, ... Ces indicateurs mesurent principalement la tendance centrale et la dispersion. On utilisera principalement la moyenne, la variance et l’´cart type. e D´finition On note e Moyenne arithm´tique e x= ¯ ou pour des donn´es pond´r´s e ee x= ¯ 1 xi , n i=1 n n

de ? et ? le vecteur ? qui minimise ? ?? ? par rapport à ? (Indication : ? ?? ? = ?′ ? ) 2) Démontrer que les matrices ? et ? sont symétriques idempotentes ; ? = ? ?′ ? −??′ et ? =?−? 3) Démontrer que ?? = ? 4) Déterminer en fonction de ? la variance de ? avec ? = ? − ?? Exercice 4 : Le tableau suivant fournit des données trimestrielles relatives à la rentabilité de l’indice boursier américain Don Jones ??? = ? et la rentabilité de l’indice boursier européen Euro Stoxx 50 ??? = ? Relation

l’inégalité. * La prévision de correspondant aux valeurs des valeurs explicatives ne peut être faite que si la contrainte est une conséquence de . 6 – La variance de l’erreur est égale : Les erreurs sont donc hétéroscéologtiques. La méthode des moindres carrée généralisées ne peut pas être utilisée, puisque la matrice de variance –Cov des erreurs dépend du paramètre qui est supposé par nature inconnu. D’où la notion d’économétrie des variables qualitatives. Maximum de vraisemblance

pourquoi nous prélevons des échantillons de la population. Paramètres : mesures qui se réfèrent à l’ensemble de la population. Statistiques : mesures calculées sur l’échantillon. Les statistiques les plus fréquemment utilisées sont la moyenne, la variance et l’écart-type. Statistiques inférentielles : inférer quelque chose des caractéristiques de la population à partir de ce que nous savons des caractéristiques de l’échantillon. 2. Les échelles de mesures Quelle est la nature de la variable 

trouver une définition simple et pertinente des MES. Kaplan (2000) propose la définition suivante : « Les MES peuvent être définis comme une classe de méthodologies ayant pour objectif de représenter certaines hypothèses au sujet des moyennes, des variances et des covariances de données observées en termes d’un plus petit nombre de paramètres “structuraux” définis par un modèle théorique sous-jacent. » Au sein de ces méthodologies deux grandes classes principales de modèles dominent (Fornell et Bookstein

Sont dites des valeurs éloignées ou « atypique » Caractéristiques de dispersion 3) La variance La variance est un indicateur de la dispersion d’une série par rapport à sa moyenne. est la moyenne arithmétique simple des n valeurs associées aux unités statistiques xi (i = 1, …, n). Application Soit la série S = {4, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 2, 1, 3, 3, 4, 5} Montrer que la variance de cette série est de 1.81 Caractéristiques de dispersion Caractéristiques de dispersion

somme des écarts avec le « point moyen » G, qui constitue le barycentre du nuage projeté orthogonalement sur l’axe considéré (∑ ni GMi = 0), est maximale. C’est donc l’axe qui possède la plus grande « inertie », c’est-à-dire celui dont la part de variance est la plus forte. Cet axe principal constitue le meilleur « ajustement », au sens des « moindres carrés orthogonaux », du nuage plan sur un nuage similaire porté par une droite (de «régression » donc). Les autres axes, orthogonaux avec le premier