Variance

Moyenne: (pour le caractère étudié exemple: âge moyen des élèves): avec les valeurs du caractère (exemple 10 ans, l'âge) et les effectifs (exemple: 12 enfants ayant 10 ans). La variance: V(x)=E [(x- E(x)) ²] L'écart type: C'est la racine carrée de la variance. Note: L'écart type et la variance sont des valeurs permettant d'apprécier la dispersion des valeurs du caractère étudié notamment autour de la moyenne.

. + x2 nk ] 2 k écart absolu moyen par rapport à la moyenne arithmétique : k 1 ex = n i=1 ni |xi − x| écart absolu moyen par rapport à la médiane eM e = Variance : V (x) = Ècart-type : σx = 1 n k i=1 1 n k i=1 ni |xi − M e| ni (xi − x)2 = 1 n k i=1 k i=1 fi (xi − x)2 V (x) = ni (xi − x)2 Décomposition de la variance : 1 1 V (x) = n [n1 V (x1 ) + n2 V (x2 )] + n [n1 (x1 − x)2 + n2 (x2 − x)2 ] Le coefficient de variation : cv = σx x Les moments simples : On appelle moment

des informations très intéressantes sur la variable aléatoire. 1. Espérance, variance et écart type Nous avons le tableau de la loi de probabilité d’une variable X suivant : Valeur de X … P(X = x) … Tout d’abord nous avons l’espérance de la variable aléatoire X, que l’on note E(X). E(X) = * + * + … + * Pour faire clair, tu multiplie les colonnes entre elle, puis tu les additionne. Ensuite nous avons la variance de la variable aléatoire X, on la note V(X) V(X) = … Tout d’abord, ce que l’on

Etude menée Etude de marché regroupant 80 prospects coréens (Hommes/Femmes) 1.
What
is
your
gender?
 #
 Answer
 
 1
 Male
 
 Total
 
 
 2
 Female
 
 
 
 
 
 
 Response
 14
 66
 80
 %
 18%
 83%
 100%
 
 Statistic
 Min
Value
 Max
Value
 Mean
 Variance
 Standard
Deviation
 Total
Responses
 Value
 1
 2
 1.83
 0.15
 0.38
 80
 Comme
 nous
 pouvons
 le
 voir,
 l’échantillon
 des
 80
 personnes
 s’oriente
 majoritairement
 vers
 le
 sexe
 féminin,
avec
83%
des
prospects.

 Ce
 résultat
 souligne


ou 4 valets,…) RESOLUTION : Il aura donc 0.11% de chance d’avoir un carré en main ! Rechercher la fonction densité de probabilité de la racine carrée Y d’une variable aléatoire uniforme X définie dans l’intervalle [0;4] ainsi que la moyenne, la variance et la médiane de la variable Y X tel que RESOLUTION : Donc  Y fonction croissante de X  Donc – tel que (voir graphique) pour Soit X la variable aléatoire continue de densité X tel que Montrer que obéit à la même densité f(x) RESOLUTION :

Fonction de vraisemblance d’un processus gaussien AR(1) . . . . . . . . . . . . . 70 9.2 Fonction de vraisemblance d’un processus gaussien MA(1) . . . . . . . . . . . . 71 3 10 Mod`les de s´ries non stationnaires e e 10.1 Non stationnarit´ en variance . . . . . . . . . . e 10.2 Tendance stochastique ou d´terministe . . . . . e Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 Non stationnarit´ d’une s´rie saisonni`re e e e 10.3 Annexe – code SAS . . . . . . . . . . . . . . . . R´f´rences bibliographiques

Probabilité Contrôle Continu n°1 Corrigé Exercice 1 Soit X une variable aléatoire discrète de loi de probabilité; xi 1 2 3 4 5 6 P(X=xi) 0,10 0,20 0,10 0,30 0,10 0,20 1) Calculer l'espérance et la variance de X. Réponse : Pour p=0.25 on a : xi 4 ?(?) = � ? ? ? ? 1 2 3 4 P(X=xi) 0.25 0.25 0.25 0.25 ?=1 ?(?) = 1 × 0.25 + 2 × 0.25 + 3 × 0.25 + 4 × 0.25 ???? ?(?) = ?. ? 6 ???(?) = � ? ? [? ? − ?(?)]2 ?=1

fréquences absolues cumulées aura la même forme, avec un simple changement d'échelle. c. pour le calcul des paramètres, on utilise les fréquences et les points centraux des classes. Avant de calculer l'écart-type, on calcule d'abord la variance : D'où 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 129,5 133,5 137,5 141,5 145,5 149,5 153,5 157,5 161,5 165,5 169,5IAV \D.S.A.\ Statistique Page 3

Déterminer la probabilité d’obtenir un résultat pair et strictement inférieur à 3. 3) En déduire la probabilité p (A ∪ B) 4) Définir l’évènement C et calculer p(C). Espérance et variance d’une loi. Définitions : * L’espérance se note E ou μ et vaut : μ = p 1 x 1 + p 2 x 2 + …… + p n x n = pi xi * La variance estime l’écart moyen à l’espérance des probabilités des évènements. On la note V ou σ² et on a V = p 1 (x 1 – μ)² + p 2 (x 2 – μ)² + ….+ p n (x n – μ)² = pi xi- μ2 = pi xi² − μ²

risque et de corrélation des composantes de son portefeuille. Considérons un benchmark actions monde11 et intéressons-nous uniquement à l’effet d’allocation (i.e. pour toute classe i, Rpi = Rbi ). Nous supposerons que ce benchmark n’est pas moyenne-variance efficace, ce qui correspond au cas général comme l’a montré Grinold (1992), puisque le système de pondération qui sous-tend leur construction ne résulte pas d’un processus d’optimisation et que leur capacité à rendre compte du portefeuille de marché