3i

b a et c a Calculer le module des nombres complexes : a ; a.b ; b3 ; a4 c Exercice N :3 Déterminer et représenter dans chaque cas , l’ensemble des points M d’affixe z vérifie la relation : iz − 2 =1 z+3 z − 3 = z − 3i 2 − 3i + z = 2 + 3i z − 4+i =1 Exercice N :4 Soit A le point d'affixe – 1 et B le point d'affixe – 2 i. A tout point M distinct de A et d'affixe z différent de – 1 on associe le point M' d'affixe Z définie par : z + 2i Z= z +1 Calculer l'affixe du point

(u; OM ), c’est à dire la quantité notée arg(z) telle que si θ est un argument de z on ait :   cos θ = a   |z| avec θ = arg(z) [2π ]   sin θ = b  |z| 1) Déterminer le module des nombres complexes suivants : √ z1 = 1 + i , z2 = 1 − 3i , z3 = −4 + 3i √ √ | z1 | = 1 + 1 = 2  1  cos θ = √  1  2 1   sin θ = √  1 2 π θ1 = 4 √ | z2 | = 1 + 3 = 2  1    cos θ2 = 2√   sin θ = − 3  2 2 π θ2 = − 3 √ |z3 | = 16 + 9 = 5   cos θ = − 4  3 5 3   sin θ = 3 5 4 θ3 = arccos − ≃

e2iπ c) eiπ d) e0 8) L’équation z 2 = −4 possède une unique solution dans ℂ a) vrai b) faux 9) L’équation z 2 − z + 4 = 0 ne possède pas de solution dans ℝ a) vrai b) faux 10) Les solutions dans ℂ de l’équation z 2 + 9 = 0 sont : a) 3i 2 et − 3i 2 b) –3 et 3 c) –3i et 3i 4 3 2 11) Soit le polynôme P( z ) = z − 6 z + 24 z − 18 z + 63 . Alors −i 3 est une solution de l’équation P(z)=0. a) vrai b) faux 12) Les solutions de l’équation z 3 + z = 0 sont : a) 0 ;-1 et 1 b) 0 ; -i et i c) 0 d) ∅ 13) Soient

= 0 et donnant le point 1 M1 (−1 ; 0 ; 4), soit le point A, l’autre correspondant à t = donnant le point 15 2 13 14 ;− ; . M2 − 15 15 3 E XERCICE 3 5 points Partie A zB − zA i − 2 + 3i −2 + 4i −1 + 2i (−1 + 2i)(2 − i) −2 + 2 + i + 4i = = = = = = zC − zA 6 − i − 2 + 3i 4 + 2i 2+i (2 + i)(2 − i) 4+1 5i = i. 5 π− zB − zA − → − − → − − → − − → = i équivaut à AB = AC i ⇐⇒ AB = e 2 AC , ce 2. Le résultat précédent zC − zA qui signifie que B est l’image

centre B, d’angle z H − zC h − c ( 3 − 3i )( −2 + 2i ) −6 + 6i + 6i + 6 3 3 − 3i 3 − 3i = = = = = = i z D − zC d − c ( −2 + i ) − 3i −2 − 2i 8 8 2  z − zC  3  π donc CD; CH = arg  H  = arg  i  = ; 2  2  z D − zC  ( ) π π 2 , , Les côtés [CD] et [CH] sont donc perpendiculaires ; le parallélogramme CDGH est donc un rectangle ; CQFD ! 2 rO la rotation de centre O, d’angle − Partie A On considère le point C d’affixe c = 3i. π 2 . On appelle D l’image

∆ = −36 = (6i)2 < 0. Il y a deux racines complexes conjuguées 4 − 6i = 2 − 3i et 2 + 3i. 2 Partie B L’ensemble des solutions est : S = {i ; 2 − 3i ; 2 + 3i} 1. Soit r la rotation de centre B et d’angle π . 4 π π Une écriture complexe de r est z ′ − zB = ei 4 (z − zB ) ⇔ z ′ = ei 4 (z − 2 − 3i) + 2 + 3i. π 2 2 +i (10 + i) + 2 + 3i = −2i 2 + 2 + 3i = 2 + 3 − 2 2 i. On en déduit zA’ = ei 4 (−2 − 2i) + 2 + 3i = −2 2 2 2. Les affixes de A’, B et C ont la même partie réelle 2 donc les trois

z 6 C 1. On considère les points A, B, C d’affixes respectives z A = 1 + 2i, z B = 1 et zC = 3i. N Déterminer les affixes des points A′ , B′ , C′ images respectives de A, B, C par f . Placer les points A, B, C, A′ , B′ , C′ . (3 + 4i) (1 + 2i) + 5 (1 − 2i) −5 + 10i + 5 − 10i z A′ = = =0 6 6 (3 + 4i) (1) + 5 (1) 3 + 4i + 5 4 + 2i = = z B′ = 6 6 3 C′ (D) (3 + 4i) (3i) + 5 (−3i) −12 + 9i − 15i N′ = = −2 − i z C′ = 6 6 2. On pose z = x + iy (avec x et y réels). Déterminer

Voici quelques exemples de calcul. ̈ Exemples t
(2 + 3i) + (5 – 4i) = 2 + 5 + 3i – 4i = 7 – i. t
(2 + 3i)(1 – i) = 2 + 3i – 2i – 3i2 = 2 + i + 3 = 5 + i, car i2 = –1. t
(2 + 3i)2 = 22 + 2 w 2 3i + (3i)2 = 4 + 12i + 9i2 = 4 + 12i – 9 = –5 + 12i. Ici, on a utilisé une identité remarquable qui se calcule comme dans aussi utilisé le fait que i2 = –1. »  ; on a Séquence 6 – MA02 9 © Cned - Académie en ligne t
(1 + 3i)(1 – 3i) = 12 – (3i)2 = 1 – 9i2 = 1 + 9 = 10. Ici, c’est l’identité remarquable

1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à 0. 1. Dans le plan complexe, on donne les points A, B et C d’affixes respectives −2+3i, −3−i et 2,08+1,98i. Le triangle ABC est : (a) : isocèle et non rectangle (b) : rectangle et non isocèle (c) : rectangle et isocèle (d) : ni rectangle ni isocèle 2. À tout nombre complexe z ≠ −2 , on associe le nombre complexe z’ défini par : z

d’affixe f (2–i) est sur l’axe des ordonnées f (2 i ) i (2 i ) 2 (2 i ) 2 i (3 4i ) 2 i 2 3i 4 2 i 2 2i Conclusion :2i est un imaginaire pur , donc le point E est sur l’axe des ordonnées Rappel : un imaginaire pur est situé sur l'axe des imaginaires ou axe des ordonnées Partie B Le plan est muni d’un repère orthonormal direct O; u , v , on considère les points A et B d’affixes respectives z A 2 i et z B 1 3i 1. En utilisant les complexes, montrer que le barycentre du système de points pondérés