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les asymptotes à la courbe C . On rappelle que l'unité graphique choisie est 2 cm. Page 1 sur 3 Exercice 2 (5 points) Partie A 1. Déterminer le complexe tel que 1 i i 2 1 3i 4 3i . 4 3i . Montrer que f z s’écrit sous la 2. Pour tout nombre complexe z, on pose f z z 2 1 3i z z i . En déduire les solutions (sous forme algébrique) de l’équation f z 0. forme z Partie B Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ; u, v) , unité graphique 5 cm. 1. On

i) 1 + 3i = = , 2−i 5 5 et 1+i 2−i Donc 1+i 2−i 2 + 2 = 1 + 3i 5 2 = −8 + 6i 8 6 = − + i. 25 25 25 3 + 6i 8 6 3 6 23 36 = − + i − + i = − + i. 3 − 4i 25 25 5 5 25 25 7 3 Soit z = 2+5i 1−i . Calculons z + z, nous savons déjà que c’est un nombre réel, plus précisément : z = − 2 + 2 i et donc z + z = −3. Correction de l’exercice 2 √ √ π 1. z1 = 2ei 3 = 2(cos π3 + i sin π3 ) = 2( 12 + i 23 ) = 1 + i 3. √ √ √ √ 3 2+ 2 3i 2− 2 π

propriétés suivantes : p (1) x2 = jxj et x2 = jxj2 si x 2 R (2) z 2 6= jzj2 si Im (z) 6= 0: (3) jzj = 0 () z = 0 (4) z 2 R () z = z. Remarque 6 Si z et w sont deux nombres complexes tels que w 6= 0, alors on a : z w zw z . = = w w w jwj2 Exemple 2 2 + 3i (2 + 3i) (1 + 2i) 4 7 = = + i. 2 2 1 2i 5 5 1 + ( 2) 0.2 Représentation graphique des nombres complexes y Un nombre complexe a + ib pouvant être considéré comme un couple ordonné de nombres réels, nous P (a; b) b pouvons représenter de tels nombres

orthonormal (O ; ). Unité graphique : 3 cm. A tout point M d’affixe z du plan, on associe le point M’ d’affixe z’ par l’application f qui admet pour écriture complexe : 1) On considère les points A, B, C d’affixes respectives zA = 1 + 2i, zB = 1 et zC = 3i. Déterminer les affixes des points A’, B’, C’ images respectives de A, B, C par f. Placer les points A, B, C, A’, B’, C’. 2) On pose z = x + iy (avec x et y réels) Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z’ en fonction de x et y.

Résoudre dans C l’équation :(3iz+2-i)((1+i)z-1+i)=0 Résoudre dans C X C : {█(2z_1-z_2=i@-2z_1+3iz_2=17)┤ Calculer : 1+i+i^2+⋯+i^2013 ;〖 (4+3i)〗^2 ; (5i-1)^2 ; 〖(3+i) 〗^3 ; (1-2i)^5 ; (4-i)(4+i) Dans le plan affine muni d’un repère(O,i ⃗,j ⃗ ), on considère le point m(x,y)d’affixe z et M(X,Y) d’affixe Z tel que : Z=(z-3i)/(z+5-3i) Donner le domaine de définition de l’expression de Z ; Exprimer X et Y en fonction de x et y En déduire et construire les ensembles des points

x2 dx · Posons alors, (x2 + 1)(x2 + 9) f (z) = z2 1 · 2 (z2 + 1)(z2 + 9) Ici on a P(z) = z2 et Q(z) = 2(z2 + 1)(z2 + 9), et deg Q = 4 ≥ 2 + deg P = 2 + 2 = 4. les racines de Q(z) sont i, −i, 3i et −3i, donc aucune n’est réelle, la formule (4.5) est donc applicable. Seuls i et 3i ont des parties imaginaires strictement positifs, d’où 1 I= 2 ∞ −∞ z2 dz = 2πi Res( f, i) + Res( f, 2i) (z2 + 1)(z2 + 9) i et 2i étant deux pôles simples de f , appliquons la formule (4.3).

2∣z∣ z 2 alors d = = =z 2∣z∣ ℜ  z 2∣z∣ z  z 2∣z∣ℜ z   On cherche d tel que d²= -5+12i z²=-5+12 i a donc 2 solutions 2 ∣−512i∣=  25144=13 donc ±23i  .  z− 2 2 d= −512i13 =23i ; l'équation  2 13−5  z− 35i 2i 1i 2  = =  2 4 2 2 35i 35i   – −47i=0 soit 2 4 solutions sont 2+3i et 1+2i (on peut vérifier par somme et produit ) z −35i z− 47i=0 équivaut à les 

= 36 = 62 . 2. BC2 = 12 + 75 = 76 ; BP2 = 64 + 12 = 76 ; PC2 = 49 + 27 = 76 ; Donc BC2 = BP2 = PC2 = 76 ⇒ BC = BP = PC ⇒ BCP est équilatéral. • Autre méthode : On calcule b − p −8 − 2i 3 (−8 − 2i 3)(−7 + 3i 3) 56 − 18 + 24i 3 + 14i 3 38 + 38i 3 = = = = = c − p −7 + 3i 3 (−7 + 3i 3)(−7 − 3i 3) 49 + 27 76 3 π 1 +i = ei 3 . 2 2 On a donc d’une part : 3 b−p PC = ei 2 = 1, ce qui signifie = 1, donc PC = BP : le triangle BPC est isocèle c −p BP en P, d’autre part : 3 π b−p = arg ei 2 = . arg c −p 3 π

point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à 0. 1) Dans le plan complexe, on donne les points A, B et C d’affixes respectives −2 + 3i, −3 − i et 2, 08 + 1, 98i. Le triangle ABC est : (a) : isocèle et non rectangle (c) : rectangle et isocèle (b) : rectangle et non isocèle (d) : ni rectangle ni isocèle 2) L’ensemble des points M d’affixe z tels que |z ′ | = 1 est : (a) : un cercle

¡ ¡ ¢       Exemple du traitement de deux variables qualitatives : 1TB, 2B, 3A, 2B, 2B, 3A, 4M, 2B, 1TB, 3A, 4M, 3A, 2B, 2B, 2B, 1TB, 2B, 3A, 4M, 2B, 2B, 1TB, 2B, 4M, 3A, 1TB : 1S, 1S, 2C, 3I, 1S, 2C, 2C, 2C, 3I, 3I, 3I, 2C, 1S, 2C, 2C, 1S, 1S, 3I, 3I, 1S, 1S, 1S, 3I, 3I, 2C, 1S. Tri croisé des variables café et service : ¥     ¤ ¥ Comment trouvez-vous le café ? 1-TB très bon, 2-B bon, 3-A acceptable, 4-M mauvais Comment jugez-vous la qualité du service ? 1-S satisfaisante