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PowerPoint PresentationNOMBRES COMPLEXESForme algébriqueSolutions :                  NOMBRES COMPLEXES=Préparation ☺                  NOMBRES COMPLEXESRésolution d'équations dans C :Solutions :=1                  NOMBRES COMPLEXES                  NOMBRES COMPLEXES                  NOMBRES COMPLEXES                  NOMBRES COMPLEXES                  NOMBRES COMPLEXES                  NOMBRES COMPLEXES                  NOMBRES COMPLEXESC={z =a + bi tels que aeRet beR et i? = —1} Ou bien C={@b) ota

attendant d'en connaître d'autres). c. Exemples de calculs Par exemple, si z = 2 + 3i et z' = 7 – i : • z + z' = (2 + 3i) + (7 – i) = 2 + 7 + 3i – i = 9 + 2i • – z' = – (7 – i) = – 7 + i. [ex. 1 à 5 p210] • z – z' = (2 + 3i) – (7 – i) = 2 + 3i – 7 + i = −5 + 4i • z z' = (2 + 3i) (7 – i) = 2×7 – 2×i + 3i×7 – 3i× i = 14 – 2i + 21i − 3(i2) = 14 + 19i + 3 = 17 + 19i • z² = (2 + 3i)² = 2² + 2×2×3i +(3i)² = 4 + 12i – 9 = – 5 + 12i Vérifier que, pour z = 5 – 2i et z' = – 4 + 9i, on obtient : z +

s(O) = D ⇐⇒ 1 = 0 + b ⇐⇒ b = 1 ; 3 s(A) = E ⇐⇒ 1 + 3i = a × (−2) + 1 ⇐⇒ a = − i. 2 3 ′ L’écriture complexe de s est donc : z = − iz + 1. 2 b. Recherche de point invariant : 3 2 2(2 − 3i) 2 3 = = (2 − 3i). M = s(M) ⇐⇒ z = − iz + 1 ⇐⇒ z 1 + i = 1 ⇐⇒ z = 2 2 2 + 3i 4+9 13  3  z′  = − iz + 1 2 entraîne par différence :  2 (2 − 3i) = − 3 i 2 (2 − 3i) + 1  13 2 13 2 2 3 2 2 3 π ′ z − (2 − 3i) = − i z − (2 − 3i) ⇐⇒ z ′ − (2 − 3i) = e− 2 z − (2 − 3i) . 13 2 13 13 2 13 π 3 Conclusion : l’angle de la similitude

de zA et zB . Donc : 2π π 4π π 3π π −→ −→ − − − = − = = . OA ; OB = arg zB − arg zA = 3 6 6 6 6 2 Le triangle AOB est rectangle isocèle en O. A. P. M. E. P. Baccalauréat S 2. π a. On sait que zD = zC ei 2 = izC = i(−1 − 3i) = 3 − i. − → −→ − D’autre part BE = OC ⇐⇒ zE − zB = zC ⇐⇒ zE = zB + zC = −2 + i 3 − 3 . −→ − −→ − b. OE −2 ; 3 − 3 et AD 3 − 3 ; −2 . −→ −→ − − OE ·AD = −2 3 − 3 −2 3 − 3 = −2 3 − 3 +2 3 − 3 = 0, ce qui montre −→ −→ − − que les vecteurs

Mardi 4 janvier 2010. Mathématiques. TS. 1 heure. Calculatrice interdite. Exercice 1 (3.5 pts) Donner la forme algébrique des complexes suivants : z1 = (3 − 2i)(1 − i) z4 = (1 − i)² 1 z2 = 3 - i z5 = 3i + 4 3 - 2i z3 = 1 - i z6 = (3 + 2i)(1 + i) Exercice 2 (2 pts) Déterminer le module et un argument des complexes suivants : z1 = −5 z2 = 63i z3 = -2(1 − i) Exercice 3 (3 pts) Déterminer la forme trigonométrique des complexes suivants : z1 = 3 + i z2 = 3(-1 + i) 1-i 3 z3 = sin(π/6) + i cos(π/6)

+ 13 = 0. ∆ = −36 = (6i)2 < 0. Il y a deux racines complexes conjuguées 4 − 6i = 2 − 3i et 2 + 3i. 2 L’ensemble des solutions est : S = {i ; 2 − 3i ; 2 + 3i} Partie B π . 4 π π ′ Une écriture complexe de r est z − zB = ei 4 (z − zB ) ⇔ z ′ = ei 4 (z − 2 − 3i) + 2 + 3i. 1. Soit r la rotation de centre B et d’angle π On en déduit zA’ = ei 4 (−2 − 2i) + 2 + 3i = −2 2 2 +i (1 + i) + 2 + 3i = −2i 2 + 2 + 3i = 2 + 3 − 2 2 i. 2 2 2. Les affixes de A’, B et C ont la même partie réelle 2 donc les

(2 + i)(2 − i) 20 − 5i = 4 − i = zB . 5 i(4 − i) + 10 − 2i 11 + 2i (11 + 2i)(2 + i) 20 + 15i = = = = 4 + 3i. zB = 4−i−2 2−i (2 − i)(2 + i) 5 11 − 2i (11 − 2i)(−2 + i) −20 + 15i i(−i) + 10 − 2i zC = = = = = −4 + 3i = −i − 2 −2 − i (−2 − i)(−2 + i) 5 zB . b. zA = 4 − i, zB = −4 + 3i, zC = −4 + 3i. c. PA = |4 − i − i| = |4 − 2i| = 20 = 2 5 ; PB = |4 + 3i − i| = |4 + 2i| = 20 = 2 5 ; PC = | − 4 + 3i − i| = |4 + 2i| = 20 = 2 5 ; Donc A , B et C appartiennent au cercle S de centre P et de rayon 5. 10 i(z

seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. C'est-à-dire que si a, b, a', b' sont des réels, on a  a = a' a + bi = a' + b'i ⇔ (a ; b) = (a' ; b') ⇔  b = b'  Exercice 02 (voir réponses et correction) Soit z = 2 + 3i ; z' = i - 5. Calculer et écrire sous la forme algébrique z + z' ; z - z' ; 2z - 3z' ; z.z' ; z2 (Si votre calculatrice permet de travailler sur les nombres complexes, vérifier le résultat) Définition →→ On se place dans le plan rapporté à

Lycée Pilote Tunis Mr. Masmoudi. R. 3° année Série d’exercices (Complexes) Exercice1 : 1) Ecrire sous forme cartésienne chacun des complexes suivants : (1+i)2; (3i+2)2; (1+i)(1-i)2; (-2+i)(-2-i) ; (2-3i)-1 ; ;(x+i) (x-I) et  ; où x. 2) Résoudre dans les équations suivantes : (E)  : 2iz – 3i + z (1 + i) = 0. (E’) : 2z – 2 + iz = 8 - 6i + (1+2i)z. 3) Pour tout complexe z on pose f(z) = az + b ;

ib ) / ( a + ib ) = ( a + ib )( a' - ib' ) / ( a' + ib' )( a'-ib' ) Exemple : écrire sous forme algébrique les nombres compexes suivants : z1 = ( 1 + i ) ( 2 - 3i ) - 3 ( 4i ) ( 3i + 1 ) + ( 1 + i )² = ( 2-3i+2i+3 ) - 3(12i² + 4i )+ ( 1+2i-1 ) = 4i - 11i z2 = 2i / ( 1 + i )² = 2i / 1+2i-1 = 2i / 2i = 1 z3 = 1+3i / 3+2i = ( 1+3i )( 3+2i ) / ( 3-2i ) ( 3+2i ) = -3+11 / 13 Propriété du conjugué : résoudre : z + 1 / z-1 = 1+i => z+1 = ( 1 + i ) ( z -1 ) z+1 = z -1 + iz - i z = 2+i / i