Diagonale continentale

forme . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.3 Les diff´rences d’orientation . . . . . . . . . . . . . e 1.3 Matrices particuli`res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3.1 Transpos´e d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . e 1.3.2 Matrice diagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Matrice identit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3.5 Matrice nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Op´rations ´l´mentaires

si il existe une base de E formée de vecteurs propres de f. Si de plus, E est de dimension finie, f est diagonalisable si et seulement si il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale. Une matrice carrée A est diagonalisable si et seulement si A est semblable à une matrice diagonale c’est-à-dire ∃P ∈ G L n (K), ∃D ∈ Dn (K)/ A = PDP−1 . Théorème. f est diagonalisable si et seulement si χf est scindé sur K et pour toute valeur propre λ de f, o(λ) = dim(Eλ ). Théorème. f est diagonalisable

• • • • • Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration par MuPad QCM corrigé Matrices diagonales Nous nous plaçons dans ou , avec . Les éléments de ou sont les scalaires. Toutes les matrices considérées sont des matrices carrées à lignes et colonnes. Les vecteurs sont identifiés à des matrices à lignes et colonne. Une matrice est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls. Elle est donc

 Σ11   Σ 21 Σ12   Σ 22  Σ11/ 2  Σ11  Σ12  Σ 22  Σ 21 1 Σ x/f  Σ  ΛΛ '  Ψ Matrice diagonale: l’AF explique les corrélations M2S3, 24 novembre 2009 10 Indétermination des facteurs • Modèle surparamétré • Invariance par transformation orthogonale x  Λf  u  ΛGG'f  u Σ = ΛΛ' + Ψ  ΛGG'Λ ' + Ψ • Solution (?): contrainte -1 Λ'Ψ Λ diagonale M2S3, 24 novembre 2009 11 Cadre gaussien • Hypothèses: f  N k  0; I  • Conséquences: x / f 

une norme matricielle sur Mn (C). e ii. Montrer qu’il existe une constante CQ telle que 1 ∀A ∈ Mn (C) N∞ (A) NQ (A) CQ N∞ (A). CQ 2. Soit T ∈ Mn (C) une matrice triangulaire sup´rieure et ε > 0 donn´. e e Montrer que l’on peut choisir une matrice diagonale DS ∈ Mn (C) S = (s, s2 , s3 , . . . , sn ) ∈ Cn o` s est un r´el strictement positif telle que : u e NDS (T ) < ρ(T ) + ε. ´ Etant donn´s A ∈ Mn (C) et ε > 0, montrer qu’il existe une norme matricielle Nε telle que e Nε (A) < ρ(A) + ε. 3. En d´duire

dordre n. Exemple II. 1 EMBED Equation.3 Cest une matrice de format (4,4) ou encore dordre 4. Parmi ces matrices, nous verrons que deux dentre elles vont jouer un rle particulier la matrice unit ou identit I qui a des zros partout, sauf sur la diagonale principale o ne figurent que des 1 la matrice nulle O qui a des zros partout Exemple II. 2 dans le cas des matrices dordre 4 EMBED Equation.3 Si m 1, il sagit dune matrice une seule ligne dite matrice ligne. Exemple II. 3 M (10 20 5 7 9)

(λ).M se déduit de la matrice M. 8. Soit M une matrice carrée d’ordre n inversible. Montrer qu’il existe une matrice B, produit de matrices B i , j (λ) (i j) telle que le produit B.M soit une matrice triangulaire supérieure dont les éléments de la diagonale sont tous égaux à 1 sauf celui situé à la dernière ligne et la dernière colonne dont on donnera la valeur. 9. Déduire de ce qui précède que tout élément de SL(E) est la composée d’une ou plusieurs transvections.. 10. Déterminer les éléments de SL(E)

= 0, A = I , I est la matrice identité, translation : u est le vecteur de translation, A = I, [ ] [] [ ] [ ] [ ] 1 0 0 u=0 ; A= 0 1 0 0 0 1 1 0 0 a u= b ; A= 0 1 0 0 0 1 c mise à échelle a 0 0 u = 0, A est une matrice diagonale u=0 ; A= 0 b 0 dont les termes définissent les échelles 0 0 c selon les axes, rotation : u = 0, A est une matrice de rotation, cos  −sin  0 u=0 ; A= sin  cos  0 0 0 1 Communication graphique Quelques transformations affines

sous la diagonale principale aij = 0 si i  j Matrice triangulaire inférieure zéro au dessus de la diagonale principale aij = 0 si i  j Matrice diagonale : Tous des zéro sauf la diagonale principale, donc aussi triangulaire sup et inf. Matrice scalaire : matrice diagonale où tous les nombres sont identiques Matrice Identité : Tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1 (donc aussi scalaire) aij = 0 si i  j ET est = 1 si i = j Matrice symétrique : chaque côté de la diagonale principale

indépendents, associés à n valeurs propres λi ∈ K, non nécessairement distinctes ; cela est aussi équivalent à dire que A = P DP −1 où P est une matrice dont les colonnes sont formées par les vecteurs propres de A et D est une matrice diagonale ayant sur la diagonale les valeurs propres de A. Alors, les n fonctions t → eλi t Vi sont, à chaque instant t, linéairement indépendent et forment donc une base pour S0 . Cela implique que n n (a) La solution générale de Y ′ (t) = AY (t) est Y (t) = i=1