Diagonale continentale

Différents types de matrices. a) Les matrices carrées N = p (même nombre de colonne, même nombre de ligne b) La matrice diagonale D a1,1 a1,2 a1,3a2,1 a2,2 a2,3a3,1 a3,2 a3,3 La diagonale c’est quand I = J D est une matrice carrée diagonale. c) Une matrice d’identité d’ordre I I3= 1 0 00 1 00 0 1 « 1 » sur la diagonale neutre pour le produit de matrice. I est une matrice carrée AI = IA = A d) Matrice triangulaire * Triangulaire supérieure

base sur les matrices M1 0 4 5  2 4   Exemple : A ( 2,2) =   ou B ( 3,3 ) = 3 1 6 sont des matrices carrées.  4 1  4 8 3   Dans une matrice carrée les éléments a11, a 22 , a 33 ,..., a nn sont appelés éléments diagonaux. La somme des éléments diagonaux d’une matrice carrée A est appelée la « trace de A » Par exemple pour A, la trace est de 3, pour B, la trace est de 4 1.3 Matrices égales Deux matrices A = [a ij ] et B = [b ij ] sont dites égales (A=B) si et seulement si : elles

des coefficients diagonaux. Matrices particulières : • Matrice nulle : la matrice nulle à n lignes et p colonnes est la matrice de n,p ( ) dont tous les coefficients sont nuls, celle-ci est notée On,p . Lorsque p = n, la matrice On,n est notée simplement On , c’est la matrice nulle de n ( ). • Matrice unité : la matrice unité de n ( ) est la matrice carrée de taille n, notée I n et définie par I n = (δi, j )1 i, j n , c’est à dire, I n est la matrice dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1

. . . .. .. . .  est dite  0  an,n 0  .  .  .  matrice triangulaire inférieure. ··· 0 ··· ··· 3 Lorsque ai,j diagonale.  a1,1    0 = 0 pour tout i = j, la matrice A =   .  . . 0 .. .. . . .. .. 0 . .  est dite  0  an,n .  .  .  matrice ··· 4 La matrice diagonale dont tous les coefcients : a1,1 = a2,2 = · · · = an,n = 1. I. Elhattab (ENCG) Matrices 2012 - 2013 6/9 Opérations sur les matrices Opérations

de a. et de b. que : e e µ 0 est valeur co-propre de A si et seulement si µ 2 est valeur propre de AA. I.5. Cas d’une matrice triangulaire sup´rieure. e a. Soit A triangulaire sup´rieure de diagonale donc de spectre (λ 1 , λ2 , .. ., λn). Classiquement la matrice AA est e triangulaire sup´rieure de diagonale donc de spectre (|λ 1|2, |λ2|2, . .., |λn|2). Ainsi si λ est valeur propre de A alors e |λ|2 est valeur propre de AA. D’apr`s 4. ci-dessus, |λ| est valeur co-propre de A, donc λ ´galement d’apr`s

communes rurales directement sous l’influence des villes. La ville devenant une norme (même si aujourd’hui on observe un léger retour en arrière à cause des effets néfastes de certaines villes), certains espaces français, et notamment le long d’une diagonale qui s’étire du sud-ouest vers le nord-est apparaît comment un espace de peuplement clairsemé. On rentre alors dans une désertification se traduisant par le vieillissement de la population, et par la perte de services publics et l’extension des friches

Le terme de "valeur propre" (en anglais : eigenvalue) appartient au domaine de l'algèbre linéaire. Il s'agit en fait des valeurs propres de la matrice des corrélations. Mathématiquement, on dit que la matrice des corrélations et la matrice diagonale des valeurs propres sont semblables : elles représentent la même information (l'inertie du nuage de points) dans deux systèmes d'axes orthonormés différents. | |Val. propr |% Total |Cumul |Cumul

sens : DN=(P-1M2P)P-1MP ⇔DN=P-1M3P=ND Les matrices N et D commutent. b. Soit Nabcd, Montrons que N est une matrice diagonale On sait que ND=DN Alors abcd1002α-1=1002α-1abcd On obtient le système suivant : a=ab2α-1=bc=c2α-1d2α-1=d2α-1⇔ a=ab2α-2=0c2α-2=0d2α-1=d2α-1 On constate que si 2α-2≠0⇔α≠1 Alors b=c=0 donc N=a00d, la matrice est donc diagonale. 3. Soit N2=D Alors a200d2= 1002α-1 On obtient le système suivant : a2=1 d2=2α-1 On a donc a=1 ou a=-1

c’est la matrice diagonale (4) La matrice du produit scalaire défini , 2 1 1 c’est la matrice 1 2 1 . 3 2 1 1 2 , 2 1 1 2 2 2 1 2 3 2 1 c’est la matrice . 2 1 1 2 1 3 . 1 Définition : (Matrice symétrique définie positive) Une matrice symétrique est dite définie positive si toutes ses valeurs propres sont strictement positives. Exemples : (1) La matrice identité est une matrice symétrique définie positive. (2) Une matrice diagonale est une matrice symétrique

(K). On pourra confondre M1 (K) et K. Une matrice N de Mp (K) est dite nilpotente s’il existe un entier naturel r tel que N r = 0. Si M1 , . . . , Mk sont des matrices carrées, la matrice diag(M1 , . . . , Mk ) désigne la matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sont M1 , . . . , Mk . Si E est un K-espace vectoriel, on note idE l’application identité sur E. Enfin, on note K[X] la K-algèbre des polynômes à coefficients dans K. On dit qu’une matrice A de Mp (K) est «toute-puissante sur K» et