Diagonale continentale

quelconque x1 −3x1 −x2 = 3x1 3x1 + 4x2 = 3x2 en posant : X = x1 x2 . Donc toute vecteur de la forme : X = sera vecteur propre. (avec x1 = 0) Proposition 2 Les valeurs propres d’une matrice triangulaire A sont les valeurs des ´l´ments de la ee diagonale principale de la matrice. Preuve. La matrice A ´tant triangulaire, son polynˆme caract´ristique sera : e o e P (λ) = (a11 − λ) (a22 − λ) ... (ann − λ) et par suite, P (λ) = 0 ⇐⇒ λ = a11 , ou ....., ou ann Les valeurs propres de A seront : λ1 = a11

pratique l A moins que vous ne vouliez calculer les composantes principales à la main… (armez vous de patience...) Analyses en composantes principales - 1 mars 2010 p.15/44 14.L’ACP en résumé i J Tableau des données J J Matrice diagonale des valeurs propres Matrice de Corrélation J Diagonalisation J Matrice des vecteurs propres J J J Histogramme des valeurs propres i Les composantes principales Analyses en composantes principales - 1 mars 2010 p

base β des ui . Diagonalisation des matrices symétriques : Une matrice A symétrique est toujours diagonalisable dans une base de vecteurs propres. Si une matrice A est diagonalisable et si on dispose de la matrice de passage P et de la matrice diagonale D on a : A =PDP-1, Si bien que les puissances nième de A sont données par : An = PDnP-1 Base canonique : On appelle base canonique de Rn la famille β=e1, e2, e3, …,en dont les vecteurs ei sont donnés par : e1 = 1, 0, …, 0, e2 = 0,

maths.txt Propriétés des matrices triangulaires[modifier] Une matrice triangulaire à la fois inférieure et supérieure est une matrice diagonale. Le produit de deux matrices triangulaires inférieures (respectivement supérieures) est une matrice triangulaire inférieure (respectivement supérieure). Plus généralement l'ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp inférieures) est une sous algèbre (non commutative) de Mn(K), ensemble des matrices de taille n a valeur dans le corps K. La transposée

sa racine carré sj est l’écart-type et j i=1 i 1 k vkl = n n (xi − xk )(xl − xl ) est la covariance des variables k et l. ¯ ¯ i i=1 On appelle matrice de variance la matrice symétrique V contenant les variances s2 sur la diagonale j et les covariances vkl en dehors de la diagonale (ligne k colonne l pour vkl ). Cette matrice s’écrit : V = 40 1 t 1 X X − gg t = Y t Y. n n (2) 45 50 De même, on définit le coefficient de corrélation linéaire entre les variables k et l par rkl = svkkll

matrice est sym´etrique r´eelle donc est diagonalisable en base orthonorm´ee, c’est-`a-dire il existe une base orthonorm´ee de E dans laquelle la matrice de f ◦ f est diagonale avec pour ´el´ements diagonaux les valeurs propres de f ◦ f . Si les valeurs propres de f ◦ f ´etaient toutes nulles, on en d´eduirait que cette matrice diagonale serait la matrice nulle et donc que l’endomorphisme f ◦ f de E serait nul. Or f est suppos´e non nul, donc il existe x ∈ E tel que f (x) = 0, donc f ◦ f (x) = 0 puisque

de A, (concat´enation des vecteurs colonnes de A) coefficient d’ordre i dans l’indexation lin´eaire coefficients diagonaux de A `res Matrices particulie zeros(m,n) ones(m,n) eye(n) diag(x) magic(n) rand(m,n) randn(m,n) matrice nulle de taille m,n matrice de taille m,n dont tous les coefficients valent 1 matrice identit´e de taille n matrice diagonale dont la diagonale est le vecteur x carr´e magique de taille n matrice de taille m,n `a coefficients i.i.d.de loi uniforme sur [0

⋮ a a a ⋮ a ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a a ⋮   a 1. Matrices particulières   Matrice nulle :  tous ses éléments a 0  Matrice carrée d’ordre n :  nombre de lignes = nombre de colonnes =      Page 1 sur 7 Matrice diagonale :  a 0 ⋮ 0 Matrice identité d’ordre   :   Matrice triangulaire supérieure :  a 0 ⋮ 0 a a a ⋯ 0 ⋯ 0 ⋱ ⋮ ⋯ a 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0   ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 I Matrice triangulaire inférieure :   0 a ⋮ 0 a

la matrice est dite matrice carrée. On note M n (K) au lieu de M n,n (K). 0 a 1, 1 B B a 2, 1 B . B . @ . a n,1 a 1,2 a 2,2 .. . a n,2 ... ... .. . ... 1 a 1,n C a 2,n C .. C C . A a n,n Les éléments a 1,1 , a 2,2 , . . . , a n,n forment la diagonale principale de la matrice. – Une matrice qui n’a qu’une seule ligne (n = 1) est appelée matrice ligne ou vecteur ligne. On la note ≥ ¥ A = a 1,1 a 1,2 . . . a 1,p . – De même, une matrice qui n’a qu’une seule colonne (p = 1) est appelée matrice colonne

n'est pas obligatoire. Si n = m, la matrice est appelée matrice carrée. Quelques matrices carrées particulières (Exemples avec n = 4) Matrice unité | | Parfois notée In  n est la dimension de la matrice  (soit I4 dans cet exemple) | Matrice diagonale | | notée diag(Dii) | Matrice triangulaire supérieure  (Upper triangular matrix, U) | | | Matrice triangulaire inférieure  (Lower triangular matrix, L) | | | Une matrice carrée A est dite symétrique si : Aji = Aij pour tout i différent