Diagonale continentale

tu vas avant que tu montes, pour t´envoyer non pas l´ascenseur le plus proche, mais celui qui fera le moins d´arrêts ! construite en béton armé, entièrement recouverte d'une façade de verre, créant plus de 4 400 fenêtres. Située sur l'avenue Diagonale, près de la Place des Gloires Catalanes, l'édifice abrite le siège du groupe Aguas de Barcelona (la Société des Eaux de Barcelone). Concernant ses proportions, la tour Agbar mesure 145 mètres de haut et comporte 38 étages, dont quatre en sous-sol

e e e e matrice carr´e est diagonale si Aij = 0 pour tout i = j; dans ce cas, les seuls e ´l´ments non nuls sont ceux qui forment la diagonale principale. Parfois une ee matrice carr´e est compos´e de z´ros au-dessus ou au-dessous de la diagoe e e nale principale. Une telle matrice est dite triangulaire. Si les ´l´ments non ee nuls sont tous au-dessus de la diagonale, elle est dite triangulaire-sup´rieure; e si les ´l´ments non nuls sont tous au-dessous de la diagonale, elle est dite ee triangulaire-inf´rieure

déduire que pour tout entier naturel n, X n = A n X 0 . cn 3. Soient les matrices P = 1 −1 5 1 et Q = 1 1 . −5 1 a. Calculer PQ et QP . En déduire la matrice P −1 en fonction de Q. b. Vérifier que la matrice P −1 AP est une matrice diagonale D que l’on précisera. c. Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, A n = P D n P −1 . 4. Les résultats des questions précédentes permettent d’établir que vn = 1 1 1 + 5 × 0, 94n v 0 + 1 − 0, 94n c0 6 6 Quelles informations

... forment la diagonale principale. t 7. On appelle transposée d'une matrice A = A , la matrice obtenue en permutant les lignes et les colonnes de A. La 1ère ligne devient la première colonne et inversement .... t  1 2  1 2 1   exemple :  2 3      2 3 5     1 5  Une matrice égale à sa transposée est dite symétrique. 8. Parmi les matrices carrées, on trouve les matrices triangulaires où tous les éléments d'un même côté de la diagonale principale sont

sont nuls sauf le diagonal direct, soit : Iij = 1 si i = j Iij = 0 si i j La matrice unité est l’élément neutre dans l’ensemble des matrices de même ordre. AI = IA = A 6.3. Matrice diagonale La matrice est dite diagonale i j aij = 0 et seule la diagonale partant de a11 du carrée que constitue la matrice, peut contenir des éléments non nuls. (Exemple de matrice diagonale) 6.4. Matrice triangulaire Une matrice A est triangulaire si, d’un côté de la diagonale, elle ne referme que

de passage de la base canonique 〈 e1 , e2 〉 de þ à la base 2 −1  〈 X1 , X 2 〉 des vecteurs propres de M ; c’est la matrice de l’application identique id 2 et donc P þ est inversible. De plus P est telle que M = P ∆ P , où ∆ est la matrice diagonale des valeurs 0 1 propres de M : ∆ =  .  0 −1 5  −1 −1 d) P 1 t * 1  −1 −2  1  −1 −1 1  1 1 1 = P =   =–   =   = P. dét P −3  −1 1 3  −2 1  3  2 −1  3  1 1 1  1 1  1 2   1 1  =      2 −1 15  2 −1

d'arguments de sortie d'une fonction type du calculateur tic, toc affiche le début et la fin d'exécution cputime temps CPU écoulé Matrices prédéfinies zeros ones eye diag toeplitz magic compan linspace matice de 0 matrice de 1 matrice identité matrice diagonale matrice de Toeplitz carré magique matrice compagnon vecteurs linéairement espacés logspace vecteurs logarithmiquement espacés meshgrid grille pour les graphiques 3D rand randn hilb nombres aléatoires à répartition uniforme nombres aléatoires à

deux matrices quelconques, non nécessairement carrées, pouvant être multipliées. Le i-ième élément de la diagonale de AB est ∑ j aij b ji . En sommant sur i, on obtient tr(AB) = ∑i ∑i aij b ji . Le j-ième élément de la diagonale de BA est ∑ j b ji aij . En sommant sur i, on obtient tr(BA) = ∑i ∑ j b ji aij . Exercice 3 2 Prouver que tr(A′A) = ∑i ∑ j aij . Le j-ième élément de la diagonale de A′A est le produit de la j-ième colonne de A, 2 2 2 ∑i aij . En sommant sur j, on obtient tr(A′A) =

n’est pas à première vue évidente. Un théorème important nous sera alors très utile. Théorème : Si A est une matrice réelle carrée (kxk) de rang k , alors il est possible de montrer que C−1 AC = Λ(1) où C est une matrice carrée (kxk) et Λ un matrice diagonale (kxk)   λ1 0 0    0 ... 0  . 0 0 λk Dans la même veine, on peut aussi montrer que A = C ΛC−1 (2). Note : Pour obtenir l’expression (2) on doit prémultiplier avec C et postmultiplier avec C−1 l’expression (1) et, donc on aura : CC −1 AC −1 C

30 Mars 2012 3 / 25 Matrices Diagonales Rappel: Une matrice diagonale est une matrice carr´e dont dont les ´l´ments e ee non diagonaux sont nuls. Exemples  −1 0 0 3  0 0  0 0  1 4   2 0 0 0 0 −8 0 0   0 0 −5 0 0 0 0 6 Il est tr`s simple et utile de travailler avec les matrices diagonales pour e plusieurs raisons: Elles sont triangulaires inf´rieures et sup´rieures ` la fois. e e a Leurs valeurs propres sont les entr´es de la diagonale. e Leur d´terminant est simplement