Diagonale continentale

taille n×n. Ex : 1 4 5 3 est une matrice carrée 2×2. c) Matrice diagonale Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les éléments sont nuls sauf éventuellement les ai,i (qui sont situés sur une diagonale). Autrement dit : ai,j = 0 si i j. Ex : 1 0 0 0 5 0 0 0 3 − est une matrice diagonale. d) Matrice unité (ou identité) Une matrice unité est une matrice diagonale qui n’a que des 1 sur la diagonale (ai,i = 1). La matrice unité de taille n×n est parfois notée In. Ex :

la pseudoinverse de la matrice A de dimension m × n, avec m > n, est définie par −1 T A+ = AT A A . La factorisation SVD de A est A = U ΣV T où U est une matrice orthogonale m × m, V est une matrice orthogonale n × n et Σ est une matrice diagonale de dimension m × n avec σij = 0 σi pour i = j, pour i = j et σi sont les valeurs singulières de A. Finalement le pseudoinverse est aussi donnée par A + = V Σ+ U T . La factorisation QR de A est A=Q R 0 où Q est une matrice

Une matrice carrée est une matrice de form n: Exempl e: 6 Définitio n: La diagonale principale d’une matrice carrée est l’ensemble des éléments de la forme 7 Définitio Une matrice triangulaire supérieure n: (inférieure) est une matrice carrée dont tous les éléments sous (au dessus) la diagonale principale sont nuls. 8 Définitio Une matrice identité est une matrice carrée n: dont les éléments de la diagonale principale sont tous 1 et les autres sont tous nuls. 9 Définitio Une matrice

0      0 1 −1   −1 1 0  0 −1 −3 −2 0 1  L3 + L2 → L3 1 0 0 1 1 2     −1 1 0  0 1 −1    −3 1 1 0 0 −4 Après transformations élémentaires, la matrice qui apparait à gauche est triangulaire supérieure, et les coefficients sur la diagonale sont tous non nuls. On en déduit que A est inversible. On trouve son inverse en poursuivant la méthode.            −1 4 L3  1 1 2 1 0 0     1 0  0 1 −1   −1  0 0 1 3/4 −1/4 −1/4 → L3 L1 − 2L3 → L1 1 1 0 −1/2 1/2

nombre de ligne de A. III) Matrices carrées. 1) Matrice identité. -Matrices diagonales : matrices dont tous les termes sont nuls sauf ceux de la diagonale. EXEMPLE : A= B= A est une matrice diagonale d'ordre (2 , 2). B est une matrice diagonale d'ordre (3 , 3). -Matrices unité : matrice dont tous les coef de la diagonale sont égaux à 1. Est appelée matrice d'ordre n et on la note In. EXEMPLE : I2

< j et considérons la matrice Aij = Ap (ε1 , . . . , εn ) dont tous les coefficients εk sont égaux à 1 sauf εi = −1. Alors Ap (1, . . . , 1) − Aij = 2Eij , donc les matrices Eij sont dans V (An ) pour 1 ≤ i = j ≤ n. Considérons aussi la matrice diagonale Bi = An (ε1 , . . . , εn ) dont tous les coefficients εk sont égaux à 1 sauf εi = −1. On obtient dans ce cas In − Bi = 2Eii , DP 3 donc les matrices Eii sont dans V (An ) pour 1 ≤ i ≤ n. Finalement V (An ) contient toutes les matrices de la

toute matrice A ∈ Mn (C), χΦ(A) = χAG . ˆ (b) Montrer que, pour tout couple (i, j) d’´ l´ ments de {1, . . . , n}, le polynome caract´ ristique ee e ´ ` de la matrice Ei,j G est egal a (−1)n X n−1 (X − gj,i ). (c) En d´ duire que la matrice G est diagonale et que G2 = In . e 6. On note Ψ l’endomorphisme de Mn (C) d´ fini par e ∀ A ∈ Mn (C), Ψ(A) = Φ(AG). ˆ (a) Montrer que Ψ conserve le polynome caract´ ristique. e (b) En d´ duire qu’il existe une matrice P ∈ GLn (C) telle que e ∀ M ∈ Mn (C), Φ(M ) =

p∈P P désigne l' ensemble des permutations possibles sign(p) = 1 si on peut décomposer p en un nombre pair de transposition (-1 sinon) Quelques matrices particulières Matrices carrées Matrices diagonales Matrices triangulaires (inférieure et supérieure) Matrices par bandes Matrice diagonale (strictement) dominante pour une matrice carrée, ∀i ∈1, n Matrice symétrique j=1, j≠i ∑ aij ≤ (

les zones périphériques intégrées et les périphéries marginalisées 2. Quels sont les divers facteurs qui régissent l'organisation et la dynamique de l'espace français ? Résumé de l'exposé Plusieurs géographes désignent par l’expression « diagonale du vide » l’espace déserté et très peu dynamique de la France. Cette dorsale, qui relie la Champagne-Ardenne au Midi-Pyrénées, en passant par le Limousin et l’Auvergne, met en exergue les dissymétries et les contrastes qui apparaissent dans l’organisation

dans K s’appelle spectre de M dans K et se note SpK (M). n. Dans tout ce paragraphe E est un K espace vectoriel de dimension finie égale à Définition 6 : Un endomorphisme u est dit diagonalisable s’il existe une base β de E telle que at u soit diagonale. Proposition 12 : 3.3 Polynôme caractéristique u est diagonalisable si et seulement si il admet une base de vecteurs propres. Théorème définition 3 : Soit M ∈ n (K), si on pose : χM = det(M − XIn ), alors χM est polynôme de degré n