Droit réel

signifie qu'une valeur approchée de e à 10-3 près est 2,718. | à 10-7 près. | | | « approximativement égal à » | | | | | Nombre réel | | | | √ | Racine carrée | représente le nombre réel positif dont le carré est égal à x. | | | | « Racine carrée de ... » | | | | | Nombre | | | | ∞ | Infini | et sont des éléments de la droite réelle achevée. apparaît dans les calculs de limites. est un point adjoint au plan complexe pour le rendre isomorphe à une sphère (sphère de Riemann)

⇔ AM = BM ⇔ M est sur la médiatrice de [AB]. AM L'ensemble D des points M d'affixe z tels que |Z| = 1 est la médiatrice de [AB]. On peut alors écrire : |Z| = 1 ⇔ (A et B ayant pour affixes respectives 1 et 4, il est immédiat que D est la droite d'équation x = 5 ). 2 Si un point M d'affixe z appartient à D, alors on a |Z| = 1, donc le point M' appartient au cercle de centre O et de rayon 1. Donc l'ensemble des images des points M de D est contenu dans le cercle de centre O et de rayon

assez éloignées l’une de l’autre et assez techniques l’une et l’autre ! Propriété La fonction ln x est dérivable sur ]0;+∞[ et (ln x )' = 1 x Démonstration 1 Le principe On travaille en deux temps : dérivable en 1 puis dérivable pour tout réel strictement positif Pour retenir cette démonstration Elle est assez difficile donc pas de découragement surtout ! On peut s’aider d’un schéma pour visualiser car on utilise les propriétés géométriques des courbes de ln x et de ex . Les pré requis

ILe nombre dérivé ALe taux d'accroissement Soit un réel a appartenant au domaine de définition d'une fonction f. Pour tout réel h non nul, on appelle taux d'accroissement ou taux de variation de f entre a et a+h le quotient : f(a+h)−f(a)h En posant x=a+h, le taux d'accroissement entre x et a s'écrit : f(x)−f(a)x−a La fonction f est dérivable en a si et seulement si son taux d'accroissement en a admet une limite finie quand h tend vers 0 (ou quand x tend vers a dans la deuxième forme)

Û a = 0 et b = 0. · Déjà, il est clair que si a = 0 et b = 0 alors a + bi = 0. · Réciproquement, supposons que a + bi = 0. Montrons qu'alors, nécessairement, a = 0 et b = 0. En effet si b ¹ 0, alors on pourrait écrire : i = 2 a . Le nombre i serait réel et on ne pourrait avoir i = -1. b not Cette notation permet de confondre les éléments de  avec leur copie (éléments de j())... (0, 1) ´ (0, 1) = (-1, 0) i = (0, 1) i ´ i = -1 not Donc b = 0. L'égalité a + bi = 0 se réduit à a + 0i =

18 = – 2x2 + 12x – 10 a) x2 + 10x + 25 = x2 + 2 × x × 5 + 52 = (x + 5)2 b) 9 – x2 = 32 – x2 = (3 – x)(3 + x) c) 4x2 – 4x + 1 = (2x – 1)2 d) 8 – 2(x – 3)2 = 2[4 – (x – 3)2] = 2[2 – (x – 3)][2 + (x – 3)] = 2(5 – x)(– 1 + x) Pour tout nombre réel x, x ≠ 1, x–1 x–1 6 x+5 +3= + = 2 2 2 2 2 2 3(x – 1) 3x – 1 b) +3= + = x–1 x–1 x–1 x–1 2 2 3(x – 1) c) –3= – x–1 x–1 x–1 2 – 3x + 3 – 3x + 5 = = x–1 x–1 a) 2. Activités d’approche 1. Vérifier les acquis DA = DR

alors [pic] ( [pic]. Partie B On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 1] par f (x) = [pic] et on définit la suite (un) par : u0 =[pic]= [pic] pour tout entier naturel n non nul, un =[pic] = [pic] 1. a. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], [pic] ( f(x) ( 1. b. En déduire que [pic] ( u0 ( 1 2. Calculer u1. 3. a. Démontrer que pour tout entier naturel n, 0 ( un. b. Étudier les variations de la suite (un). c. En déduire que la suite (un) est convergente

T ES SPE MATHS SUITES NUMERIQUES 0 SUITES NUMERIQUES I. Suites arithmétiques, suites géométriques 1. Suites arithmétiques Définition Dire qu’une suite est une suite arithmétique, c’est dire qu’il existe un réel tel que pour tout : Propriétés Si Si Si est une suite arithmétique de premier terme est une suite arithmétique de est une suite arithmétique de alors pour tout : : . . alors pour tous entiers naturels alors . . Exemple :    est une suite arithmétique

. . . . . V Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Géométrie plane I Colinéarité de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . II Équations d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . II.1 Vecteur directeur d’une droite . . . . . . . . II.2 Équations cartésiennes d’une droite . . . . II.3 Équations cartésiennes et équations réduites II.4 Équations cartésiennes et parallélisme . . . III Décomposition d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . IV Exercices . . .

alignés. 2. Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l’ensemble ∆ des points du plan qui ont le point A pour image par la transformation f . 3. Montrer que, pour tout point M distinct de A, le point M appartient au cercle C . z −1 est réel. z−1 Que peut-on en déduire pour les points A, M et M ? 4. Montrer que, pour tout nombre complexe z = 1, 5. On a placé un point D sur la figure donnée en annexe. Construire son image D par la transformation f . Page 6 / 7 Annexe à rendre