Droit réel

∀n ≥ 1. n! n n≥0 2- Considérons la série On a Vn+1 1 = lim 1 + n n Vn n D’après le critère d’Alembert; la série = e > 1. n≥1 nn = +∞. n! 28 Chapter 2 Fonctions réelles: 2.1 2.1.1 Introduction: Fonctions d’une seule variable: - Pour une fonction f réelle d’une seule variable réelle x, la notation y = f (x) nous indique que la quantité y est fonction de la variable x. On dit aussi que la variable y dépend de la variable x. La variable x est donc la variable indépendante

ses engagements, l'investisseur sait exactement à quels paiements s'attendre et à quelles dates.  Cependant, un investisseur veut également savoir la chose suivante: quel prix dois-je payer aujourd'hui pour cette obligation et quelle est sa valeur réelle aujourd'hui? Valeur Actuelle La valeur d'un actif aujourd'hui n'est pas seulement la somme des cash-flows futurs qu'il génère, mais plutôt la somme de la valeur actuelle de ces cash-flows. La valeur actuelle de 300 dollars, encaissés dans six mois

Limite et ordre - Asymptotes Cours CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE – ASYMPTOTES La lettre grecque α désigne soit + ∞, soit − ∞ , soit a un réel fini (a ∈ R) → → Le plan est muni d’un repère (O ; i ; j ) , et on note C f la courbe représentative de la fonction f dans ce repère 1. LIMITE et ORDRE 1.1. Théorème de comparaison f et g sont deux fonctions définies sur le même intervalle I  Si ∀x ∈ I  lim g ( x) = +∞  x →α f ( x) ≥ g ( x) alors lim f ( x) = +∞ x →α Exemple Déterminer la limite

( u ; JE ′ ) = [2π], donc E ′ est sur la médiatrice du segment [JL] où L est le point 3 du cercle C ′ qui se trouve aussi sur l’axe des réels sans être le point O : cette médiatrice est la droite verticale, notée D, d’équation x = −6. En définitive E ′ est le point d’intersection entre le cercle C ′ et la droite D dans le demi-plan complexe de partie imaginaire positive. Boisset, Legrand, Roussot 2/ 12 Février 2014 Correction Bac Blanc Terminale S Remarque : Une autre méthode de construction

appelé projection orthogonale de [pic] sur [pic] et noté [pic] Théorème : Soit [pic] un vecteur non nul alors pour tout vecteur [pic] et [pic] et pour tout réel [pic] [pic] 2. Définition Définition : Si [pic] et [pic] sont des vecteurs colinéaires, on appelle produit scalaire de [pic] et [pic] et on note [pic] le nombre réel défini par [pic] si [pic] et [pic] ont le même sens et [pic] si [pic] et [pic] sont de sens contraires. Si [pic] et [pic] ne sont pas colinéaires : [pic] [pic]

déduire que d = 1/4 + 3 i racine carrée(3)/4 donc d + 1/2 = module de (d + 1/2) e i argument(d + 1/2) = (3/2) e i Pi/3 = (3/2) (1/2 + i racine carrée(3)/2) d'où d = -1 /2 + 3/4 + 3i racine carrée(3)/4 = 1/4 + 3 i racine carrée(3)/4 c) Déterminer un réel a vérifiant l'égalité (1 + 2ia)/ (1 - ia ) = 1/4 + 3 i racine carrée(3)/4 (1 + 2ia)/ (1 - ia ) = 1/4 + 3 i racine carrée(3)/4 équivaut à (1 + 2ia) 4 = (1 - ia) ( 1 + 3 i racinecarrée(3) ) équivaut à 4 + 8 ia = 1 + 3 i racine carrée (3) - ia - 3

FONCTION NUMÉRIQUE 1 Fonction numérique 1.1 Définition Définition 1 : Une fonction numérique f d’une variable réelle x est une relation qui à un nombre réel x associe un unique nombre réel y noté f ( x ). On écrit alors : f : R ou D f −→ R x −→ f ( x ) Il faut faire la différence entre la fonction f qui représente une relation et f ( x ) qui représente l’image de x par f qui est un nombre réel. Remarque : • On dit que y = f ( x ) est l’image de x par f et • x est un antécédent (non unique) de y = f

le domaine de définition de la fonction logarithme népérien est: ii) Pour tout réel x , strictement positif, lnx = [pic] 3) Interprétation graphique: a) Construire le graphe de la fonction: f(x) = [pic] sur[pic] b) k est un réel supérieur à 1 , construire la droite d’équation x = k et x = 1 Interpréter graphiquement le réel lnk c)i) En utilisant une calculatrice, vérifier que: ln1 = et ln3 > 1 ii) Intuitivement

LEÇON N˚ 72 : Croissance comparée des fonctions réelles x −→ ex, x −→ xa et x −→ ln x au voisinage de +∞. Applications. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice. Pré-requis : – Fonctions citées dans le titre : définition, sens de variations, limites en ±∞ ; – Droite réelle achevée, voisinage épointé d’un point x0 ∈ R, noté V (x0 ) ; – Opérations élémentaires sur les limites, théorème d’encadrement, ainsi que le théorème de composition

un(2- un) où a est un réel donné tel que 0 < a < 1. 1'- On suppose dans cette question que a = [pic] a) Calculer u1 et u2. b) Dans un repère orthonormal (unité graphique 8 cm), tracer, sur l'intervalle [0 ; 2], la droite d d'équation y = x et la courbe P représentative de la fonction f : x ( x(2-x). c) Utiliser dl et P pour construire sur l'axe des abscisses les points A1, A2, A3 d'abscisses respectives u1, u2 et u3. 2°- On suppose dans cette question que a est un réel quelconque de l'intervalle