Droit réel

DÉRIVATION I) NOMBRE DÉRIVÉ Définition 1 On dit qu'une fonction ¦ définie sur un intervalle I contenant a est dérivable en a s'il existe un réel A tel que : pour tout réel h tel que a + h Î I : ¦(a + h) = ¦(a) + Ah + hj(h) avec lim j(h) = 0 h®0 Le nombre A s'appelle nombre dérivé de ¦ en a ; on le note ¦'(a). Exemple : La fonction ¦, définie sur , par ¦(x) = x2 + 3x – 4 est-elle dérivable en a ? Pour le savoir, calculons ¦(a + h) : ¦(a + h) = (a + h)2 + 3(a + h) – 4 = a2 + 2ah + h2

Le théorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction définie sur un intervalle [ a; b ] et soit k un réel compris entre f ( a ) et f (b ) . Si f est continue sur [ a; b ] alors il existe un réel c appartenant à [ a; b ] tel que : f ( c ) = k (voir figure de gauche ci-dessous). Si, de plus, f est strictement monotone sur [ a; b ] alors le réel c est unique (voir figure de droite ci-dessous). f (a) f (b) k f (b) k f (a) a c b a c b PanaMaths [1-5]

(2k + 5)xk+7 , i = k + 7 k=0 99 Exercice 4. — Calculer la somme : k=1 1 1 − k k+1 Suites numériques II.3 II.3.1 Limite d’une suite Définitions Définition II.3.1. — Soit (un )n∈N une suite. La suite (un )n∈N est dite convergente s’il existe un réel ℓ tel que un est aussi proche de ℓ que l’on veut pourvu que n soit suffisamment grand. On dit que ℓ est la limite de la suite (un )n∈N ou que la suite (un )n∈N converge vers ℓ. On note lim un = ℓ. n→+∞ La suite (un )n∈N est dite divergente si elle

qu’à l’instant t = 0 le mobile est au point d’abscisse f (0) = 0,5 m et a une vitesse égale à f ′ (0) = 0,125 m.s−1 . t t 1 cos + sin . Montrer que la fonction f est définie par f (t ) = 2 4 4 c. Vérifier que, pour tout réel t : f (t ) = 2 2 cos 1 (t − π) . 4 2. Montrer que pour tout réel t , on a : − 3. 2 . 2 2 a. Donner la valeur positive t0 de t pour laquelle le point M se trouve pour la première fois en O. f (t ) 2 b. Combien de fois le point M se trouve-t-il en O dans l’intervalle de temps

exacte et zéro sinon. 1. Une équation du plan (ABC) est : 2x + 2y − z − 11 = 0. 2. Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC). 3. Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales. 4. La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante :   x y  z = = = −1 + 2t −1 + t 1−t (CD) (t ∈ R). 5. Le point I est sur la droite (AB). E XERCICE 2 Commun à tous les candidats 1. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x 2 e1−x . → → − − On désigne par C sa courbe représentative

666 ; 8,666…. ; 4/3 ; 3/4 ; 7 Il y a deux représentations différentes. Les ensembles : [pic] La droite numérique : [pic] Objectif : savoir placer un nombre sur les schémas ci-dessus. Ces ensembles sont inclus les uns dans les autres N [pic] Z [pic] D [pic] Q[pic]R Ce qui veut dire que 3 (par exemple) est à la fois un entier naturel, relatif, un décimal, un rationnel et un réel. Il est important de ne pas confondre un nombre et ses écritures. [pic] En particulier

fonction définie sur par j(x) = (x² + 1)(-2x3 + 3x – 7). 1. Calculer j ’(x) pour tout réel x. 2. Déterminer une équation de la tangente à Cj au point d’abscisse 1. 3. Donner l’approximation affine associée à j pour x proche de 1. En déduire une valeur approchée de j(1,1). Comparer avec la valeur exacte. Exercice 4 (3 points) Soit k déf. sur D = ]2 ;+ ¥[ par k(x) = 1. Calculer k ’(x) pour tout réel x de D. 2. Etudier le signe de k ’(x) et dresser le tableau de variation de la fonction k.

Dérivation I- Nombre dérivé, tangente On note une fonction numérique définie sur un intervalle de ℝ a est un réel de . 1) Définition : Soit ℎ un nombre réel non nul tel que + ℎ ∈ . • On appelle taux d’accroissement de entre et + ℎ le rapport ℎ = • • On dit que la fonction est dérivable en lorsque le taux d’accroissement ℎ devient aussi proche que l’on veut d’un nombre réel lorsque ℎ tend vers 0 Le nombre est appelé nombre dérivé de en a et on note : = = lim ↦ ℎ 2) Détermination

-1- http://mathematiques.daval.free.fr BTS DOMOTIQUE Nombres complexes 2008-2010 I Introduction Tous les nombres positifs ont une racine carrée. Par exemple, 9 a pour racines carrées 3 et −3. Par contre, aucun réel négatif n’a de racine carrée (réelle). Les nombres complexes offrent la possibilité de pallier à cette injustice ! I.1 Le nombre i Le nombre i est un nombre dont le carré vaut −1. Ainsi, i2 = −1. De plus, son opposé −i a aussi pour carré −1. En effet : (−i)2 =

- Exercice fonction exponentielle - Janvier 2014 Pour tout réel k strictement positif, on désigne par f k la fonction définie et dérivable sur Ê telle que : f k (x) = kxe−k x . On note C k sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal O ; #” ı , #”  . Partie A : Étude du cas k = 1 On considère donc la fonction f 1 définie sur Ê par f 1 (x) = xe−x . 1 . Déterminer les limites de la fonction f 1 en −∞ et en +∞. En déduire que la courbe C 1 admet une asymptote