Droit réel

3.3 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Fonction indicatrice d’un ensemble . . . . . . . 6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suites réelles 7.1 Notions de base sur les suites . . . . 7.1.1 Langage des suites . . . . . 7.1.2 Sens de variation des suites . 7.1.3 Borne(s) d’une suite . . . . 7.1.4 Opérations sur les suites . . 7.2 Suites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

et opérations . 4- Fonction dérivée et variations . 5- Fonction dérivée et extréma . 6-Géométrie plane . 1- Colinéarité de deux vecteurs . 2- Vecteur directeur d'une droite . 3- Equations cartésiennes de droites . 4-Décomposer un vecteur . 7-Probabilités . 1- Variables aléatoires . 2- Paramètres d'une loi de probabilité . 8-Les suites. 1- Définitions

développements limités formule I) La formule de Taylor 1.1 ) Formule de Taylor avec reste intégral On considère une fonction de classe (c’est-à-dire fois dérivables et à dérivées continues, en particulier la -ième) dans un intervalle ouvert contenant un réel En pratique il s’agira surtout de fonctions de classe On a la formule suivante (appelée formule de Taylor avec reste intégral (ou reste de Laplace) : Ce que l’on écrit habituellement : Cette formule se démontre assez facilement par récurrence

− 3i ) − ( 2 − 5i ) 5 + 2i 29 52 + 22 1 z2 est un nombre réel. OA² + AB² = OB² ; Donc z 2 + 1 z2 1 z2 = eiθ ( ) 2 + 1 (e ) iθ 2 = ei 2θ + 1 ei 2θ = ei 2θ + e −i 2θ = 2 × ei 2θ + e −i 2θ = 2cos ( 2θ ) ∈ ℝ ; 2 D’où z − zA  z − zA  zO − z A π = i ⇔ O = 1 ⇔ AO = AB et arg  O  = arg ( i ) ⇔ AB; AO = ; zB − z A zB − z A 2  zB − z A  ( ) Donc z 2 + est un nombre réel si le module de z est égal à 1 la proposition 5 est vraie. Méthode

Activités 1, 2 et 3 sur les translations I ) Vecteurs 1) Qu’est – ce qu’un vecteur ? Idée à retenir : « Un vecteur sert à décrire un déplacement. » Définition : Un vecteur ( non nul ) est la donnée de trois éléments : 1) une direction ( une droite , deux droites parallèles ont la même direction ) 2) un sens de parcours de cette direction . 3) une longueur ( appelée norme ) . Exemples : 1) Le vecteur formé de la direction(‫)ܤܣ‬, de sens « de ‫ ܣ‬vers ‫ » ܤ‬et de longueur AB est noté ሬሬሬሬሬԦ ‫ ܤܣ‬. 2)

d'une fonction f définie pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 8]. D R=3 R=4 C A 1 j → O 0 → O' i 1 8 B C' C Figure 1 1) a) En remarquant que la courbe C passe par le point A d'abscisse 0, le point D d'abscisse 8, et qu'en ces points elle admet une tangente horizontale, déterminer les valeurs de f (0), f (8), f ’(0) et f ’(8). b) On suppose qu'il existe quatre nombres réels a, b, c et d tels que pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 8], f (x) =

Fonction carré La fonction carré est la fonction qui à un nombre réel x associe son carré, noté x², soit x multiplié par lui même. Elle introduit les fonctions puissance, c'est une des plus simples d'entre elles. Propriétés [modifier]Signe La première propriété est la positivité de la fonction. En effet quel que soit x réel, y=x\times x on a forcément deux fois le même signe à droite; donc y est supérieur ou égal 0. Et s'annule uniquement en 0. Parité Vient ensuite la parité de la fonction

| Exemples : - La fonction x ) 0 est la fonction polynôme nulle . - Les polynômes de degré 0 : x ) k sont les fonctions constantes, - Les polynômes de degré 1 : x ) a x + b , a ≠ 0, sont les fonction affines. - Pour tout réel x, [pic] équivaut à : [pic]. Remarques : - La fonction f définie par [pic] peut s’écrire après simplification : [pic] ; c’est donc une fonction polynôme de degré 2 - La fonction g définie par [pic] peut s’écrire après simplification : [pic] ;

perpendiculaire à (AE) contenant C : le vecteur AE a pour co3 3 ordonnées − ; 1 ; l’équation est donc de la forme − x + y + c = 0 et cette 2 2 3 droite contient C, donc × 0 + 2 + c = 0 ⇐⇒ c = −2. Donc une équation est 2 3 − x + y − 2 = 0 ⇐⇒ 3x − 2y + 4 = 0. 2 La parallèle à (OC) contenant D est simplement : x = −1. Le point F étant commun à ces droites, ses coordonnées vérifient le système : 3x − 2y + 4 x = = 0 −1 ⇐⇒ −3 − 2y + 4 x = = 0 −1 ⇐⇒ y x = = 1 2 −1 1 On a bien zF = −1 + i . 2 3. On a de

ai, j = 1. j=1 1. Montrer que 1 est valeur propre de A. 2. Soit λ une valeur propre de A. (a) Montrer que |λ | Correction 1. 1 − ω. Conséquence géométrique ? [005665] (b) Montrer qu’il existe un réel ω de [0, 1] tel que |λ − ω| Exercice 16 ** Soit A une matrice antisymétrique réelle. Etudier la parité de son polynôme caractéristique. Correction [005666] Exercice 17 **   0 ... 0 1  .   . . .. . .. 0  .  Soit A =   .   0 . .. . .. .  . 1 0 ... 0 Montrer que A est diagonalisable