Fonction de Cobb-Douglas

Chapitre 1 FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 1 Définitions et notations Tout n-uplet de réels (x1, x2, ..., xn) correspond dans l’espace à n dimensions noté Rn : * à un point X (x1, x2, ..., xn) * à un vecteur colonne X =
 x1 x2 ... xn   Une fonction numérique f de n variables réelles est une application d’un ensemble Df inclus dans Rn dans R . Elle fait correspondre à tout n-uplet de réels X= (x1, x2, ..., xn) une image réelle y = f(X) = f(x1, x2, ..., xn) 1.1 Exemple

le taux auquel le consommateur est disposé à  substituer un bien à l’autre. b b à l’ § 6 – Le TMS : Taux Marginal de  Substitution § 6 – Le TMS : Taux Marginal de  Substitution Section III – L Utilité Section III L’Utilité § 1 – La fonction d’utilité § 2 Exemples de fonction d’utilité 2 – Exemples de fonction d utilité • Substituts parfaits: • Compléments parfaits: Compléments parfaits: • Bien indésirable: • Bien neutre: Bien neutre:   § 3 Les préférences normales 3 – Les préférences normales § 3 Les

La production Fonction de production: q = f (K, L) Exemple: Cobb-Douglas: q = AK α Lβ 1) Principe de non gaspillage 2) Facteurs fixes et variables (court terme et long terme) 3) Progr`s technique (diff´rents types): e e qt = eat f (Kt , Lt ) ; qt = f (Kt , ebt Lt ) 3) Rendement d’´chelle: e A(γK)α (γL)β = (γ)α+β AK α Lβ = (γ)s q s = α + β = rendement d’´chelle e s > 1 rendement d’´chelle croissant e s = 1 rendement d’´chelle constant e s < 1 rendement d’´chelle d´croissant e e 4) Rendement marginal:

du ménage peuvent être représentées par la fonction de Cobb-Douglas suivante : U(x1, x2) = x1 1 3x2 2 3 , x1 &gt; 0, x2 &gt; 0 Le bien 1 est vendu au prix p1, le bien 2 au prix p2 et le revenu du ménage est égal à R̄. 1. Donner l’expression de l’utilité marginale du bien 1. Comment varie t-elle en fonction de la quantité consommée de bien 1 ? 2. Donner l’expression de la contrainte budgétaire et montrer que l’on peut utiliser la fonction d’utilité V = lnU au lieu de U . En déduire le

moteur à la croissance économique ? Problématique de la valeur ajoutée par rapport aux consommations intermédiaires Ressources naturelles : ce que l'homme peut utiliser, rapport à l'activité humaine, qui viennent de la nature Fonction de production de Cobb-Douglas Repousser la rareté, aller chercher de nouvelles ressources naturelles Ressources permettent d'assurer la survie de l'homme et de déployer son activité => matières premières, biodiversité, biens publics comme eau et air, terre pour

qui s’expriment par une fonction de production. L’objectif de ces règles techniques est d’éliminer les gaspillages des facteurs de production et de consommations intermédiaires. [ = efficience technique ].       une grosse différence avec la théorie du consommateur : tous les termes rentrant dans la fonction de production sont mesurables, et il en va de même pour la production elle-même. La fonction de production a ainsi un caractère objectif que n’avait pas la fonction de satisfaction ou d’utilité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 I – Facteurs de production et fonction de production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 A) Facteurs complémentaires ou substituables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1) Fonction de production à facteurs complémentaires 2) Fonction de production à facteurs substituables 3) Fonction de production macroéconomique 16 17 18 B) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

permettent eux aussi de faire croître le niveau de richesse. Solow introduit donc un nouveau facteur, un résidu, qu’il assimile au progrès technique. Des travaux économétriques vont confirmer le rôle du progrès technique Les travaux de Cobb et de Douglas (1928) (document 7) aboutissent à des études permettant d’appréhender le phénomène de croissance et la contribution des facteurs de production. Les principales recherches comme celles de Solow ou de Denison pour les États-Unis vont mettre

produit. o La production simultanée o La production différée 1 2 La fonction de production 2.1 Définition Cette fonction se nomme « fonction de production ». Elle indique comment varie le niveau maximum de la production quand varient les quantités de facteurs utilisés, pour une entreprise donnée. Les fonctions de production croient avec chacun des facteurs ou au pire stagnent. 2.2 Les fonctions de Cobb-Douglas Ce sont des fonctions de ce type : avec 3 Les relations facteurs-produits 3.1 Les productivités

par tête consommation par tête On note : 1.3 Fonction et facteurs de production - La fonction de production est notée Yt = F (Kt , HLt ) 1 - F est à rendements d'échelle constants H ménages (H = 1) En notations intensives : f (kt ) ≡ F (Kt /Lt , 1) f (.) strictement concave, respecte les conditions f (0) = 0 f (0) = ∞ d'Inada : f (∞) = 0 - Hypothèse : k0 > 0 1.4 Fonction d'utilité des ménages - Fonction d'utilité intertemporelle d'un ménage : U= - ∞