Graphe d'une fonction

importante dans l'appréciation des copies. Problème (d'après Polynésie Juin 1997 ) Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = x - 1 + (x2+ 2)e-x On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O;,)  (unité graphique 2cm). Pour tout l'exercice on pourra admettre ou démontrer que  x2 e-x = 0 . Partie I : Étude d'une fonction auxiliaire Soit g la fonction définie sur IR par g(x) = 1 - (x2 - 2x + 2)e-x 1°) Étudier les limites de g en - et . 2°)

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 1 Définition M ( voir animation ) →→ On dit qu'un repère orthonormé (O; i , j ) est direct → → lorsque ( i ; j ) = + π [2π] . 2 Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct, si M est le point du cercle trigonométrique image du réel x, ● l'abscisse de M est appelée cosinus de x, elle est notée cos x ou cos(x). ● l'ordonnée de M est appelée sinus de x, elle est notée sin x ou sin(x). Propriété Pour tout réel x, on a x sin x x cos x

Interrogation n◦ 5 - Première ES - Octobre 2014 Correction Interrogation n◦5 Correction Première ES Dérivation Durée 0.5 heure - Coeff. 2 Noté sur 20 points Exercice 1. Dérivée et tangente 8 points On a tracé Cf , la courbe représentative de la fonction f définie sur R par : f : R x 25 −→ R −→ f (x) = x3 + 8x2 + 17x + 10 20 15 10 5 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −5 1 2 3 4 x −10 −15 1. Déterminer la dérivée de f : ∀x ∈ R ; f ′ (x) = 3x2 + 16x + 17 2. Déterminer l’équation de T , la tangente

peut pas donner de résultat général à partir des tableaux précédents. Les formes indéterminées sont de différents types et on peut dans beaucoup de cas trouver la limite en effectuant les manipulations suivantes. Opérations sur les limites Limite d'une somme Si f ou (un) a pour limite l l l +∞ -∞ Si g ou (vn) a pour limite l' +∞ -∞ +∞ -∞ -∞ -∞ pas de résultat général Alors f + g ou (un) + (vn) a pour limite +∞ l + l' +∞ -∞ +∞ Limite d'un produit Si f ou (un) a pour limite l

possibles de par 11. b) Résoudre alors le système Exercice 3 :(7 points) On considère la fonction numérique définie sur l’intervalle I = ]-1, +  [ par :  Soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé O, i , j . ( unité graphique : 2cm). 1) a) Dresser le tableau de variation de . b) Montrer que pour tout réel x 0 on a : f x Interpréter graphiquement ce résultat. 2) a) Montrer que la fonction x . réalise une bijection de I = ]- que l’on déterminera. On notera (C’) la courbe représentative

Position relative d'une courbe et d'une tangente x3 Soit f  la fonction définie sur ℝ par  f  x = −x 2−3 x1 . 3 1­ Calculer f '(x) et en déduire les variations de f . 2­ Soit Cf  la courbe représentative de f. a) Calculer les coordonnées du point A d'abscisse 1 de Cf. b) Déterminer une équation de la droite T tangente à Cf  en A. 3­ Etudier la position relative de la courbe Cf  et de la droite T. (en appelant g(x) la fonction affine représentée par T, on étudiera le signe de d(x)=f(x)­g(x))

représentative de g doit passer par l’origine. De plus g n’étant pas une fonction affine, la courbe représentative de g n’est pas une droite. 3. Réponse b. 2 + 2 Justification : =2 = donc ′ = + =2 +2 = 2 +2 4. Réponse c. ni décroissante ni croissante sur ℝ Justification : étant toujours positif, ′ a le même signe que 3 + , or 3 + est positif pour > −3 ; et 3 + est négatif pour < −3. La dérivée ′ change donc de signe. La fonction est décroissante sur −∞ ; −3 puis croissante sur −3 ; +∞ . Exercice

La courbe représentative d’une fonction trinôme f a été effacée. |[pic] | |Il ne reste que l’axe de symétrie D et le point A avec sa tangente. | | |Retrouver l’expression de f(x). | | Exercice 2 (3 points) |On a représenté une fonction f définie

Lycée Camille SEE 2002 / 2003 DERIVATION T.ES I - NOMBRE DERIVE f est une fonction définie sur un intervalle I. a et x = a + h sont deux valeurs distinctes de I. A ( a, f (a)) et M ( x, f (x)) sont deux points de la courbe représentative de la fonction. f ( x) − f (a) Le coefficient directeur de la sécante (AM) à la courbe est m = , c’est le x−a taux de variation de la fonction entre a et x. M A M O A A a h x O a h x=a+h O h Lorsque M devient de plus en

Activité : Introduction à la fonction logarithme népérien. 1°) Définition – courbe représentative. Définition (bijection) : On dit qu’une fonction f définie sur un intervalle I réalise une bijection de I sur J = f(I), si tout réel y de J possède un unique antécédent x appartenant à I. C’est le cas en particulier de toute fonction f dérivable et strictement monotone sur un intervalle I, qui réalise une bijection de I sur f(I). Définition : Soit f une fonction réalisant une bijection d’un