Théorème de Pythagore

Première partie : 1) 2) D'après le théorème de Pythagore : Si, dans un triangle, le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est un triangle rectangle. Si AC²=BC²+AB², alors le triangle ABC est rectangle en B. ABC est tel que : [AB]= 12cm , [AC]=20cm ,BC]=16cm. Le côté le plus long est [AC]. AC²=BC²+AB² 20²=16²+12² 400=256+144=400 AC²=BC²+AB², donc d’après le théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. 3) L’aire

bxa + bxb = a² + 2ab + b² (a-b)²= (a-b)(a-b) =axa + ax(-b) + (-b)xa + (-b)x(-b) = a² - 2ab + b² (a+b)(a-b) = axa + bxa + (-b)xa + bx(-b) = a²+ab-ab+b² = a² - b² Exemples : x² + 4x + 4 = (x+2)² x²-1 = x² - 1² = (x+1)(x-1) 16x² - 8x + 1 = (4x-1)² Théorème : Un produit de facteurs est nul (donc égal à 0) si au moins l’un des facteurs est nul… Cela veut dire que face à une résolution du type (ax + b)(cx + d) = 0, il faut résoudre deux équations séparément : ax + b = 0 puis cx + d = 0. On obtient deux

sur le cercle de diamètre [AB]. • Si un triangle est rectangle, alors le carré de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit (Théorème de Pythagore). • Si dans un triangle le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle (réciproque du théorème de Pythagore). Triangle isocèle, triangle équilatéral : • Si un triangle ABC est isocèle en A, alors les angles de sommets B et C sont égaux. • Si un triangle est équilatéral

triangle MB'N est un triangle rectangle en B'. D'après le théorème due Pythagore : MN² = MB ' ² B ' N² ainsi : MN² =2²  x² = 4  x² et MN =  4  x² 1 2 2 (Comme BM = BB ' il est clair que MB ' = BB ' = 3 =2 ) 3 3 3 3. N ' ∈ [ A ' B ' ] donc A ' N  NB ' = A ' B ' = 3 et A ' N = 3− NB ' =3 − x Comme en 2° la face A'B'C'D' du cube est un carré alors le triangle NA'S est un triangle rectangle en 3 ² A' et d'après le théorème due Pythagore : NS² = NA ' ²  A ' S² soit NS² =  3 − x  ²  2

PROPRIETES GEOMETRIQUES [REVISIONS] I. THEOREME DE PYTHAGORE. a. Théorème de Pythagore : ABC est un triangle. SI ABC est rectangle en A, ALORS AB² + AC² = BC². (On dit parfois : « Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés ») Exercice type : ABC est un triangle rectangle en A tel que : AB = 3 cm et BC = 5 cm Calculer AC. PUISQUE le triangle ABC est rectangle en A, ALORS d’après le théorème de Pythagore : AB² + AC² = BC² 3² + AC² = 5² 9 + AC² = 25 AC² = 25 – 9 AC²

Propriété de Pythagore dans le triangle rectangle 4. Relations trigonométriques dans le triangle rectangle I AUTOÉVALUATION ......................................................... 8 AUTOCORRECTION ......................................................... 11 Professionnalisation et intégration aux métiers de l’hydroélectricité et de l’EAU I I I OBJECTIFS ET PRÉREQUIS OBJECTIFS Vecteurs, composition de vecteurs Théorème de Thalès Théorème de Pythagore Trigonométrie

réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Alors le quadrilatère ABCD est un trapèze. Exercice n°5 : (2,5 points) Dans le triangle OCE, les points O, A,C et O, D, E sont alignés dans le même ordre. ))= ))= )) et ))= ))= )) Donc )) )) Alors les droites (DA) et (EC) ne sont pas parallèles. Exercice n°6 : (5,5 points) 1. Dans le triangle EGM, on a : ==289 et +=+=225+64=289 Donc =+ D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle

triangle rectangle isocèle en A, calcule la valeur exacte de BC. D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A : BC2 = AB2 + AC2 BC2 = 12 + 12 = 2 BC = √2 b. En t'aidant de la question a. et de la figure ci-dessus, calcule les valeurs exactes de DB et EB. D'après le théorème de Pythagore dans le triangle DBC rectangle en C : BD2 = CB2 + DC2 BD2 = √22 +12 = 2 + 1 = 3 BD = √3 D'après le théorème de Pythagore dans le triangle DBE rectangle en E : BE2 = DB2 + DE2 BE2 = √32 + 12 =

Exercice 2 (6 points) 1. Dans le triangle PLI, le plus grand côté est [LI]. Comparons LI² et LP² + PI² : LI² = 13² LP² + PI² = 5² + 12² LI² = 169 LP² + PI² = 169. On constate que LI² = LP² + PI², donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle PLI est rectangle en P. PL × PI 5 × 12 60 = = = 30 cm². 2 2 2 3. Puisque le triangle PLI est rectangle en P, le centre O de son cercle circonconscrit se situe au milieu de l’hypoténuse [IL]. 5 × 12 × 13 5 × 2 × 2 ×

Séquence 7 Configuration du plan et de l’espace Sommaire 1. Prérequis p.323 2. Les théorèmes à connaître, à savoir utiliser p.327 3. Géométrie dans l’espace p.331 4. Exercices d’approfondissement p.351 Séquence 7 – MA20 321 © Cned – Académie en ligne 1 Prérequis A Médiatrice Définition Définition Soient A et B deux points du plan. La médiatrice �� du segment [AB] est la perpendiculaire à la droite (AB) passant par le milieu I de [AB]. B I A Propriété (admise) : La médiatrice