Absolue continuité

façon … lim f ( x ) = – ∞ lim f ( x ) = – ∞ x → +∞ lim f ( x ) = + ∞ x → –∞ x → –∞  → j  → j O  → O i  → i Cf Les nombres f ( x ) deviennent négatifs et de plus en plus grand en valeur absolue Cf  → j Cf Dans ces deux cas, f est définie sur un intervalle de la forme ] -∞ ; b ] O  → i Rem : Dans la pratique, on peut utiliser la remarque suivante : lim f ( x ) = lim f ( - x ) x → –∞ x → +∞ Tout devient

grales g´ n´ ralis´ es a f (t)dt et −b f (−t)dt e e e e sont de mˆ me nature et egales en cas de convergence. C’est pourquoi on peut e ´ toujours se ramener au cas −∞ < a < b ≤ +∞ que nous reprenons dans toute la suite. 2.1.3. Convergence Absolue. D´ finition 2.3. Soit f : [a, b[→ R localement int´ grable. Lorsque l’int´ grale e e e b a b | f (t)|dt est convergente, on dit que a f (t)dt est absolument convergente. 2.1.4. Fonctions a valeurs complexes. ` D´ finition 2

Maths au lycee *** Ali AKIR Séries d’exercices 4ème technique Continuite et limites Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/ EXERCICE N°1 Calculer les limites suivantes : 1 − x² + 3 x 2 − x + x² x² + 2 − 3 x lim ; lim ; lim ; lim x ² + 3 x − 2 x ; lim x ² + 3 x − x ; x →+∞ 1 + x − x ² x →1 1 + x − 2 x ² x → +∞ x →+∞ x →1 x −1   x +7 − 3 x −3 1 lim x ² + 3 x − x ; lim x ² + 3 x − 3 x + 1 ; lim ; lim ; lim x  4 + − 2   x →−∞ x →+∞ x →3 x + 6 − 3 x →2 x +

Chapitre 9 EQUATIONS DIFFERENTIELLES 9.1 Equations diff´ erentielles lin´ eaires du premier ordre 9.1.1 Pr´ esentation du probl` eme Nous nous int´eressons `a la r´esolution des ´equations de la forme y + a(x)y = b(x). Dans cette ´equation, a et b sont des fonctions de x, d´efinies et continues sur un intervalle ouvert I de R. Par exemple y + y sin x = 2 sin x sur R. On cherche une fonction y de x, d´efinie et continˆ ument d´erivable sur I, qui v´erifie l’´egalit´e ci-dessus

plan et que la valeur absolue OI=1 Figure 2 cabris Etape 3 : poser un point X quelconque sur la droite (OI) Figure 3 cabri Etape 4 : vérifier par X ? La valeur OX/OI Figure 4 cabri Etape 5 : vérifier expérimentalement la valeur OX/OI Figure 5 cabri Parti 2 : l’opération réciproque avec [X :] : Etape 1’ : créer 2 points sur le plan O et I Figure 1’ cabri Etape 2’ : préciser la droite (OI) étant donne que ce dernier précise un repère dans le plan et que la valeur absolue OI=1 Figure 2’ cabri

Fiches de révision : Intégration Soit a et b deux réels tels que a<b et f une fonction continue et positive sur l’intervalle [a ; b]. On appelle C la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthogonal d’origine O. Puisque f est positif sur l’intervalle [a ; b], la courbe C est entièrement située au-dessus de l’axe des abscisses. On prend comme unité d’aire l’aire du rectangle de sommets le point O et les points de coordonnées (1 ;0), (1 ;1), (0 ;1). On appelle aire sous la courbe

logarithme népérien réelle. On peut la rencontrer lorsqu'on travaille avec une calculatrice traitant les nombres complexes : si l'on étudie la fonction x↦|ln(x)|, la calculatrice peut être amenée à définir cette fonction sur ℝ* en interprétant la valeur absolue comme un module : \left|\ln(-a)\right| = \sqrt{\ln^2(a) + \pi^2} pour a réel strictement positif. Notes et références ↑ Voir par exemple Leonhard Euler, Variae observationes circa series infinitas. Commentarii academiae scientarum

y (t) dt = 0 cos(ty(t))dt. Supposons b < +∞. cos(ty(t))dt est définie en tant qu’intégrale d’une fonction bornée sur un [0,b[ intervalle borné. b Quand x → b− , on a y(x) → y0 + 0 cos(ty(t))dt = . Posons y(b) = de sorte de prolonger y par continuité. Quand x → b− , y (x) → cos(bx) ∈ R donc y (b) = cos(b ) = cos(by(b)). On obtient alors une solution de l’équation différentielle définie sur ]a, b]. Cela contredit la maximalité de y. Absurde. Ainsi b = +∞ et de même a = −∞. 7 Supposons

82061CTPA0210 BTS Comptabilité et gestion des organisations Première année Mathématiques Devoir 2 Exercice 1 C’est le coût annuel d’entretien et de réparation d’un équipement d’âge t, durant les cinq dernières années. 1. On pose Di = ln Ci où ln désigne le logarithme népérien. a) 1 2 3 4 5 Ci en centaines d’euros 13,3 14,2 16,1 18,9 23,6 Di 2,588 2,653 2,779 2,939 3,161 ti en années b) Le nuage de points a une direction privilégiée

I. Définition de la fonction exponentielle Soit (E) l'équation différentielle f'(x) = f(x) avec f(0) = 1. On admet qu'il existe une fonction solution de cette equation. Lemme Si f est une fonction solution de (E), alors pour tout x, f(x) \neq 0. Propriété et définition : Il y a une unique fonction solution de (E). Cette solution est appelé fonction exponentielle et est notée \exp. Démonstration : Soit f une fonction solution de (E) et on pose g(x) = f(x)f(- x) g est défini sur \mathbb{R}