Absolue continuité

Int´egration et calcul de primitives C. Ducourant September 13, 2007 1 Int´ egrale d’une fonction continue •D´efinition : Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle [a,b]. Le r´eel not´e b a f (x)dx est appell´e int´egrale de a `a b de f . •Signe de l’int´egrale : Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle I contenant les reels a et b tels que a≤b. - Si f est positive sur [a,b], ⇒ - Si f est n´egative sur [a,b], ⇒ b a f (x)dx ≥0 b a f (x)dx ≤0 •Int´egrale

D(F1 , . . . , F6 ) = ... ... ... ... ... D(x01 , . . . , x06 ) . . . . . . 0 sin t 0 0 ... ... 0 = 2 x06 sin t 2 x06 les intégrales singulières sont donc les solutions de (Sn1 ) telles que, sur I, on ait : 2 x06 sin t = 0, c’est-à-dire (par continuité) x06 = 0. 2 L’équation (x06 ) + t x1 = 0 donne alors x1 = 0, et les équations x04 conduisent à x2 = a t2 + b t + c , (a, b, c) 2 R3 . x6 = 0 et x02 x4 = 0 La solution générale s’obtient ensuite en résolvant le système normal : 8 > > x01 = x3

2010 Détails Catégorie : Fonctions numériques   On considère la fonction f définie sur  par  et on note (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthonomé  (unité 0,5 cm) A) Etude d'une fonction auxiliaire : soit g la fonction définie sur , par .   1) Etudier les variations de g   2) Déterminer alors le signe de g(x) pour    B) Etude et représentation graphique de la fonction f : 1) Etudier les limites de f en  et en    2) Montrer que la droite (D) d'équation y = 2x + 4 est

Chapitre 6 FONCTIONS HYPERBOLIQUES 6.1 D´ efinitions On d´efinit trois fonctions sur R par ex + e−x (cosinus hyperbolique), 2 ex − e−x sh x = (sinus hyperbolique) et 2 sh x (tangente hyperbolique). th x = ch x ch x = Remarques : • On utilise parfois coth x = 1 · th x • Le terme hyperbolique se justifie g´eom´etriquement. En effet, en posant : quand t d´ecrit R, M de coordonn´ees (x, y) d´ecrit une branche d’hyperbole. 6.2 Trigonom´ etrie hyperbolique Dans toute la suite, a et b d´esigneront

t/2 π/2 cos(nt) dt + ln(t) cos(nt) dt 0 Par intégration par parties, Exercice 3 : [énoncé] a) 0, cf. lemme de Lebesgue. b) Posons π/2 ln(t) cos(nt) dt = π/2 In = 0 0 sin(2nt) cos t dt sin t Cette intégrale existe car un prolongement par continuité est possible en 0. On observe sin(2(n + 1)t) − sin(2nt) = 2 sin t cos(2n + 1)t et donc 1 ln(π/2) sin(nπ/2) − n n nπ/2 0 sin u du u La fonction t → ln sin(t/2) se prolonge en une fonction de classe C 2 sur [0, π/2]. t/2 Par intégration par parties

est cohérent avec l’allure de la courbe de la fonction ln donné au chapitre précédent). Le fait que la fonction ln soit en plus dérivable signifie intuitivement que la courbe « n’a pas de coin ». Pour bien comprendre on peut citer la fonction valeur absolue qui est continue sur » tout entier, mais qui n’est pas dérivable en x = 0 ce qui se traduit sur sa courbe par un « coin » : 2 1 0 –3 –2 –1 0 –1 20 © Cned - Académie en ligne Séquence 5 – MA01 1 2 3 2. Sens de variation de la fonction

2: suite d´ecroissante sauf les premiers termes + suite born´ee inf´erieurement 0.5, 0.9, 0.6, 1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001 · · · . an = 1 for n > 3 10n−4 ´ 3 LA CONTINUITE 15 • cas 3: certains autres cas 1 1 1 1 1, 0, − , 0, , 0, − , 0, · · · . an = 2 4 8 16 3 (−1) n−1 2 1 2 0, n−1 2 , si n impair, si n pair. La continuit´ e 3.1 D´ efinition Rappellez-vous que si f (x) est un polynˆome, alors lim f (x) = f (c). Ces types x→c de limites sont faciles a` calculer. Ceci m`ene a` la d´efinition

Correction du baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2008 E XERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1. a. x 1 ⇒ ex e1 ou encore ex e ⇒ ex > 1 (par croissance de la fonction exponentielle). f est donc bien définie pour x 1. H est bien définie pour x 1 comme intégrale d’une fonction continue car quotient de deux fonctions continues sur [1 ; +∞[, le dénominateur ne s’annulant pas comme on l’a vu précédemment. b. On sait que H ′ (x) = f (x) : H est la primitive de f qui s’annule pour x = 1. c.

Chapitre 6 Chapitre 6. Intégration 15 9 –3= . 2 2 Activités et applications 2. A = Ig – If = 1. Intégrale d'une fonction continue et positive 3. a) h(x) = – x2 + x + 2. On vérifie que les racines de – x2 + x + 2 sont – 1 et 2. Donc, h(x) = – (x + 1)(x – 2). D’après les règles de signe des polynômes du second degré, h(x) у 0 pour tout x ∈ [– 1 ; 2]. 2 2 x3 x2 b) h(x) dx = – + + 2x 3 2 –1 –1 8 4 –1 1 =– + +4– – + –2 3 2 3 2 8 1 3 =– +6– – 3 3 2 16 36 7 27 9 =– + + = = . 6 6 6 6 2 Activité. Aire

La plupart des approches modernes de la relativité générale se basent sur le concept de variété. Plus précisément, la construction physique de base représentant la gravitation – un espace-temps courbe – est modélisée par une variété pseudo-riemanienne lorentzienne à quatre dimensions, continue, connexe et constituant un espace séparé ou espace de Hausdorff. Les autres grandeurs physiques sont représentées par différents tenseurs (voir plus loin). L'objectif dans le choix d'une variété comme structure