Absolue continuité

Fonction logarithmique               Fonction exponentielle | * Nom de la fonction : logarithme népérien * Notation : Log, et plutôt : ln, de nos jours (logarithme népérien) * Étymologie : du grec logos = science, logique, raison et arithmos = nombre. Neper : logarithme, Huygens : logarithmique, Euler : nombre de Neper, népérien, forgés sur Neper). * Ensemble de définition : R+* = ]0 ,+ [ Périodique : non. * Fonction dérivée : (ln x)' = 1/x. * Nom de la courbe associée

Exercice 1 1) f’(1) correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point D (1 ; 2), mais qui admet une tangente G (0 ; - 4) au point D. donc f’(1) = (yD-yG)/( xD –xG) = (2+4)/(1-0) = 6/1 = 6 f’(1) = 6 f’(2) = 0 Car f’(2) correspond au point E (2 ; 6) qui lui admet une tangente horizontale donc sa dérivée est égale à zéro. 2) L’équation tangente est : y = f’(a) (x-a) + f(a) Au point D, donc a = 1 f’(1) = 6 et f(1) = 2 donc, y = f’(1) (x-1) + f(1) y = 6x - 6 +

PROBLEME Soit f la fonction définie sur [0; +[pic][ par : f(x) = [pic]pour x > 0 et f(0) = 0. On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O;[pic],[pic]) (unité graphique 5 cm). Partie 1 1. Démontrer que la droite ([pic]) d'équation y = 1 est asymptote à (C). 2. Pour x > 0, calculer [pic]. Etudier la limite de cette expression quand x tend vers 0 (on pourra utiliser, pour n entier naturel non nul, [pic]une-u = 0) Que peut-on en déduire pour la fonction f ? Que peut-on

I Ensemble de dérivabilité d'une fonction Fonction |Définie sur |Dérivable sur | |Fonction |Définie sur |Dérivable sur | |[pic] |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] |[pic] | |[pic] |[[pic][ |][pic][ | |[pic] |[pic] |[pic] | | Si f est polynôme ? f dérivable sur[pic] Si f est rationnelle ? f dérivable sur son ensemble de définition II Calcul de dérivée Dérivées usuelles | |Opération sur les fonctions dérivables | |Fonction |Fonction dérivée | |Fonction |Fonction dérivée | |[pic] |[pic] | |U +

BACCALAUREAT GENERAL Session de juin 2009 MATHEMATIQUES - Série S Enseignement Obligatoire France métropolitaine EXERCICE 1 1) a) Soit n un entier naturel. vn+1 = un+1 − 6 = 1 1 1 1 un + 4 − 6 = un − 2 = (un − 6) = vn . 3 3 3 3 1 . 3 La suite (vn ) est une suite géométrique de raison b) On sait alors que pour tout entier naturel n vn = v0 × Or v0 = u0 − 6 = −5 et donc pour tout entier naturel n on a un = vn + 6 = −5 1 3 n 1 3 n . + 6. 1 3 n Pour tout entier naturel n, un

´ Universite Rennes II L2 MASS — Analyse Feuille de TD 6 Exercice 1 Pour chacune des s´ries enti`res suivantes, d´terminer le rayon de convergence R et e e e le comportement de la s´rie au bord de l’intervalle de convergence, i.e., en x = ±R. e (a) (e) sinh n n n≥0 cosh n x xn n≥2 n ln n (b) (f ) n≥2 (−1)n xn ln n xn n≥1 1+ 1 +···+ 1 2 n (c) (g) (−1)n n n≥1 1×3×5×···×(2n−1) x x2n n≥0 2n (d) (h) xn n≥0 cosh n n! n≥0 x . Exercice 2 1. D´terminer les rayons des s´ries

Mathématiques Devoirs Terminale ES Devoirs 1 à 10 Rédaction Jean-Yves HÉLY Directeur pédagogique des disciplines scientifiques 7-MA01-DVPA00-10 Jean-Michel LE LAOUÉNAN Référence : 7-MA01-DVPA00-10 Ce cours a été rédigé et publié dans le cadre de l’activité du Centre National d’Enseignement à Distance, Institut de Rennes. Toute autre utilisation, notamment à but lucratif, est interdite. Les cours du Cned sont strictement réservés à l’usage privé de leurs destinataires et ne sont pas

CORRIGE DU TD z −1=z −1 z  z1 3 2 Ex1 : a) l' équation donc 2 3 j  j =1 ) j= b) Q  z = z 4 z 21=0⇔ Z = j ou Z = j 2 en posant Z = z 2 d'où z 2 = j=  2 ou bien j 2 2 j j z = j .Donc les solutions de Q(z)=0 sont { j ,− j ,  ,− } . z 3=1 ⇔ z =1 , j où j 2 =1 a 4 solutions dans ℂ : 1 , i , -1 ,-i −1i  3 ( on rappelle qu'on pose j= et qu'on a z 4 Q z = z− j z j z−  z  j j En regroupant les racines conjuguées on obtiendra des polynômes du second degré

+ 1) 9 ∞ t2 0 dt = arctan t +1 ∞ 0 = π . 2 0 6. a) En effectuant un d´veloppement limit´ en 0, on a e e e−t − e−2t = 1 − t − (1 − 2t) + ◦(t) = t + ◦(t) , donc e−t − e−2t =1, t→0 t lim 1 et la fonction se prolonge par continuit´ en 0. Il en r´sulte que l’int´grale e e e converge. D’autre part, si t ≥ 1, on a 0≤ ∞ 0 e−t − e−2t dt t e−t ≤ e−t t ∞ et 0≤ e−2t ≤ e−2t , t ∞ et puisque les int´grales e 1 e −t dt et 1 e −2t ∞ dt convergent

in´galit´ est imm´diate si x ou y est la suite nulle. e e e Le cas d’´galit´ a lieu lorsqu’il y a ´galit´ dans (2). Or dans la question a) l’in´galit´ est e e e e e e stricte lorsque u = v . Donc si l’in´galit´ de H¨lder est une ´galit´ les valeurs absolues e e o e e des suites sont proportionnelles. 1 1 c) |xn + yn |p |xn + yn |p−1 |xn | + |xn + yn |p−1 |yn | et compte tenu de l’´galit´ + = 1 , e e p q p p p p q |x | + |x + y | q |y | . Il r´sulte alors qui donne = p − 1 , on a |xn + yn | |xn + yn