Absolue continuité

Chapitre 5 La fonction logarithme népérien Pour prendre un bon départ (page 118) Activité 1 2 1. a) f (1 × 1) = f (1) + f (1) donc f (1) = 0 . b) f est dérivable sur ]0 ; + ∞ [ donc g est dérivable et pour tout réel y > 0 , g ′(y) = x f ′(xy) = f ′(y) . c) Donc pour réel x > 0 , g ′(1) = f ′(1) = x f ′(x) , donc : f ′(1) f ′(x) = ----------- . x 2. a) Pour tout réel y > 0 , h ′(y) = x f ′(xy) – f ′(y) . kk -- -- Or f ′(xy) = ----- et f ′(y) = -- , donc h ′(y) = k – k = 0 . xy y y y b) Donc

metghodeCe phénomène touche pratiquement toutes les villes de plus de 20 000 habitants en France, à savoir les grandes et moyennes villes. Seules, les petites agglomérations échappent plus ou moins au mouvement, ou du moins elles le connaissent sous une forme embryonnaire. Il n'existe pas de véritables spécificités régionales, à savoir des localisations préférentielles de la périurbanisation à l'Est, à l'Ouest, dans le Nord ou dans le Midi. La répartition de celle-ci est presque égalitaire, compte

Processus stochastiques et lemme d’Ito 1- Définitions et principaux types de processus stochastiques a- Processus stochastique On dit qu’un variable suit un processus stochastique lorsque les changements de valeur de cette variable, au cour du temps sont ,au moins en partie, aléatoires. Les deux termes aléatoire et stochastiques sont synonymes. Mais pour la variable, on utilise, de préférence, le terme aléatoire. On dit une variable aléatoire. Pour désigner le processus qui se déroule dans

pages en tout) mais peuvent ˆtre regard´s sur ´cran, et leurs figures compl´mentent e e e e utilement le pr´sent polycopi´. e e Date: September 30, 2007. 1 Cours 1: fonctions d’une variable r´elle e ´ ´ 1. Fonctions d’une variable reelle: continuite, limites 1.1. Introduction. 1.1.1. Pourquoi ´tudier les fonctions d’une variable r´elle? e e Dans la plupart des sciences, on est amen´ ` ´tudier des grandeurs qui varient en fonction d’autres e a e grandeurs; par exemple, l’´nergie en fonction

Fiche 3 : Exponentielles, logarithmes I - Fonction exponentielle népérienne Théorème et définition Il existe une unique fonction f dérivable sur telle que : f’ = f et f(0) = 1 On la nomme fonction exponentielle népérienne et on la note exp. Propriétés immédiates La fonction exp est strictement positive sur R. La fonction exp est dérivable sur et : exp’(x) = exp(x) pour tout x réel. La fonction exp est strictement croissante sur R. Le nombre e. Notation xe On désigne le réel exp(1) par

−t 2π . t 2 sin 2 t2 −t t sin − t ϕn (t) = 2π t 2π 2 sin 2 (2n + 1)t . Pour t ∈]0, π], on pose alors f(t) = 2 f est continue sur ]0, π]. De plus, quand t tend vers 0, f(t) ∼ posant f(0) = −1. En résumé, −t = −1. f se prolonge donc par continuité en 0 en t 2 2 n ∀n ∈ N∗ , k=1 π2 1 = + k2 6 π f(t) sin 0 (2n + 1)t 2 dt où f(t) =            t2 −t 2π si t ∈]0, π] t . 2 sin 2 −1 si t = 0 Il reste à étudier la limite quand n tend vers +∞ de l’expression

suivant les signes TS - Fiche de cours : Limites - Asymptotes Limite d'une composée de fonctions a, b et l désignent soit des réels, soit +∞, soit -∞. Si lim f(x) = b et lim g(y) = l , alors lim g o f(x) = l . x→a y→b x→a Continuité - Dérivabilité Continuité f est continue en x0, si lim f(x) = f(x0) c'est-à-dire si lim f(x0 + h) = f(x0) x→x0 h→0 Limites obtenues par la dérivée Si f est une fonction dérivable en x0 alors : f(x0 + h) - f(x0) f(x) - f(x0) lim = f'(x0) ou encore lim =

EXISTENCE ET UNICITÉ DE SOLUTION(S) D'ÉQUATION DU TYPE ¦(x) = l I) Notion de continuité sur un intervalle Définition 1 (intuitive) : Soit ¦ une fonction définie sur un intervalle I. On dit que ¦ est continue sur I si sa représentation graphique est d'un seul tenant sur I. Exemples et contre-exemples : · La fonction représentée ci-contre est non continue sur [-3 ; 3] : en effet, elle n'admet pas de limite en 1 (la courbe fait un "saut"). Néanmoins, elle est continue sur [-3 ; 1[ et sur ]1 ; 3]. ·

MATHÉMATIQUES I Filière MP MATHÉMATIQUES I On étudie certaines classes de fonctions appartenant à l’ensemble B des fonctions bornées et continues par morceaux de IR dans C : c’est un espace vectoriel I sur C . Il est muni de la norme uniforme définie par I x ∞ = sup x ( t ) t ∈ IR Pour tout ω appartenant à IR , on note e ω la fonction définie sur IR par la iωt formule : e ω ( t ) = e . On note U la fonction définie par U ( t ) = 1 si t > 0 , = 0 sinon. Tous les sous-espaI ces vectoriels

Exercice 2 : (5 points) On considère la fonction numérique définie sur IR par : f(x) = si x < 0 f(0) = 0 f(x ) = x² ln x si x > 0 1) a) Montrer que , pour x < 0, f est dérivable , et calculer sa dérivée sur ]- ; 0[. Présiser le signe de f ’(x). b) Montrer que, pour x > 0, f est dérivable , et calculer sa dérivée sur ]0 ; + [. Présiser le signe de f ’(x). c) Calculer et En déduire que que f est dérivable en 0 et préciser f ’(0). d) La