Absolue continuité

CHAPITRE 4 LA TRANSFORMÉE DE F OURIER 4.1 Fonctions localement intégrables Soit I un intervalle de R et soit f : R −→ R une application. Définition 4.1.1 On dit que f est localement intégrable sur I si f est intégrable sur tout intervalle fermé borné contenu dans I. C’est à dire, f est localement intégrable sur I, si quelque soit [a, b] ⊂ I, alors b a f (x)dx existe. Remarque 4.1.1 Il est clair que toutes les fonctions continues sont localement intégrables. On note par Loc(I, R) = { f :

is Chapeau Le présent simple Le présent continu Vous trouverez le mois prochain le corrigé de cette fiche dans la rubrique « corrigés des exercices » 1-A061-MO-WB-010-10 SOMMAIRE : |Présent simple / présent continu : formation |p. 2 | |Présent simple / présent continu : emplois |p. 3, 4 | |Exercice |p. 5

|t − n − 1| j=1 |t − j| Pour t ∈ N, ϕ(t) est non nul et en divisant par ϕ(t) on obtient / ∀t ∈ N, / ϕ(t − 1) |t − n − 1| = ϕ(t) |t| 2 n ıt On a t−n−1 = 1 − n+1 qui croˆ sur R+∗ . Sur [1, n/2], elle varie entre −n et −1 − t t une valeur absolue plus grande que 1 : ∀t ∈ 1, n ϕ(t − 1) , ≥1 2 ϕ(t) et a donc Il suffit de multiplier par ϕ(t) ≥ 0 pour obtenir l’in´galit´ demand´e. e e e 1.4. D’apr`s la question 1.2, le maximum de ϕ sur [0, n] est atteint en un point x0 de [0, n/2] (quand e

ETUDES D’INGENIEURS DE NABEUL Corrigé : Examen du Premier Trimestre Épreuve d’Analyse Fait le : 12-12-2011 Section : MP 1 point pour la cohérence du raisonnement, la clarté et la concision du développement. Problème N˚ :(12pt) 1 1. (1 .5pt)La continuité (0 .5pt) : – x → (x − 1) + 2 (x − 1) ln2 x = (x − 1) (x − 1) + 2 ln2 x = 0 est continue sur ]0, 1[ . – x → xx−1 − 1 = exp ((x − 1) ln x) − 1 est continue sur ]0, 1[ . D’où f est continue comme rapport et composé de fonctions continues sur ]0, 1[

Etude de la fonction exponentielle : 1) Sens de variations : Théorème : la fonction exp est strictement croissante sur . Démonstration : Valable pour toute bijection strictement croissante. Soient u et v ( IR ; on a : u = ln ( eu ) et v = ln ( ev ) . Si u < v alors eu < ev car la fonction ln est strictement croissante ; ( lna < lnb ( a ey ( x > y ➢ ex = ey ( x = y ➢ ex > 1 ( x > 0 ➢ ex < 1 ( x < 0 2) Etude des limites : Théorème : • [pic] • [pic] Démonstration :

Introduction aux communications numériques Philippe Ciblat École Nationale Supérieure des Télécommunications, Paris, France Introduction Théorie de l’information Conception d’un système Introduction Excepté la radio et la télévision, toutes les communications actuelles se font en numérique Types de canaux : paire torsadée, ligne électrique, Hertzien, fibre optique Types de sources : analogique (voix) ou numérique (données) Objectif Transmettre le maximum de données (débit maximale (probabilité

impaire de l'exponentielle) sh' = ch donc sh est strictement croissante, et du signe de x. ch' = sh donc ch est décroissant sur ]–∞,0] et croissant sur [0,+∞[. -3- ex au voisinage de +∞. 2 (La notation ∼ est définie dans le chapitre Limites et Continuité qu'on trouvera dans le fichier f(x) LIMITES.PDF. f ∼ g au voisinage de x0 signifie que lim = 1) g(x) x → x0 sh(x) ∼ x au voisinage de 0 (car sh'0 = 1). ch(x) ∼ 1 au voisinage de 0. x2 x ch(x) – 1 ∼ car on vérifiera que ch(x) – 1 = 2 sh2( ) 2 2 sh(x)

x →−4 2 Exercices 1.9 1. a) Comme f ( x ) est un quotient de deux polynômes, elle est discontinue là où le dénominateur est nul, soit en x = 1 et en x = − 3 2 . Par conséquent, f ( x ) est continue sur \ {− 3 2 , 1} . Vérifions d’abord la continuité de la fonction aux endroits où la fonction change d’expression, soit en x = 1 et en x = 4 . On a f (1) = 1, lim− f ( x ) = lim− x 2 = 1 et lim+ f ( x ) = lim+ x = 1, de sorte que la fonction est x →1 x →1 x →1 x →1 b) continue en x = 1 ,

[correction] Soient E1 et E2 deux espaces vectoriels normés réels, f une application de E1 dans E2 telle que pour tout compact K de E2 , f −1 (K) soit un compact de E1 . Montrer, si F est un fermé de E1 , que f (F ) est un fermé de E2 . 1 Continuité et topologie Exercice 1 [ 01123 ] [correction] Justifier que U = (x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 < x3 + y 3 est un ouvert de R2 . Exercice 2 [ 01124 ] [correction] Montrer que GLn (R) est une partie ouverte de Mn (R). Exercice 3 [ 01125 ] [correction]

ROC: Restitution Organisée des Connaissances  Terminale S Septembre 2005 Table des matières 1 Analyse 2 1.1 Limites et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Fonction exponentielle, existence et unicité . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6 Propriétés