Absolue continuité

courbe continue existe comme objet mathématique bien défini, le processus d'encadrement et de passage à la limite de Riemann est nécessaire, et pour le réaliser il faut avoir recours au concept de continuité uniforme. Sans chercher à escamoter cette difficulté et sans avoir recours à ce concept de continuité uniforme qui est résolument hors programme en terminale scientifique, nous essayons dans ce qui suit de montrer par quel choix d'axiomes ou de propositions admises et géométriquement significatives

négative f f + := f _ 0 et f := (f ^ 0). ! R mesurables. soit de f sont dé…nies, sur A, Il est évident que si (X; A) un espace mesurable et A 2 A, alors f est mesurable si et seulement si f + et f sont mesuarbles. On en déduit que la valeur absolue jf j d’ une fonction mesurable f est mesurable (jf j = f + + f ). Proposition 10 Soit (X; A) un espace mesurable, soit A 2 A et soit f : A ! R. On a a) Si f est mesurable et si B 2 A avec B A, alors la restriction fB de f à B est mesurable. S b) Si

Charg´e de cours Table des mati` eres Objectifs du cours d’Analyse 4 1 Fonction d’une variable r´ eelle 1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Continuit´e en un point xo . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Continuit´e `a droite, `a gauche de xo . . . . . . . 1.3 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Limite `a droite, `a gauche de xo . . . . . . . . . 1.3.2 Op´erations

morceaux sur un segment . . . . . 1.2 R´vision du cours de premi`re ann´e sur l’int´grale des fonce e e e tions continues par morceaux sur un segment . . . . . . . . . . 1.3 L’int´grale fonction d’une borne . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3.1 Continuit´ par morceaux sur un intervalle quelconque . e 1.3.2 L’int´grale comme fonction d’une borne . . . . . . . . . e 1.4 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 La formule fondamentale du calcul diff´rentiel et int´gral et

La fonction f x −→ est d´rivable en a si la e f (x) − f (a) x−a admet une limite finie lorsque x tend vers a. Cette limite est appel´e nombre d´riv´ de f en a et e e e est not´e f (a) : e f (x) − f (a) f (a) = lim . x→a x−a √ 1 1 , valeur absolue, x sin x et x2 sin x . Exemples. xn , la fonction inverse, Par un changement de variable, on peut ´galement ´crire que si f est d´rivable en a, alors e e e f (a) = lim – On note ε(h) = f (a+h)−f (a) h f (a + h) − f (a) . h→0 h h→0 −

fonction bornée sur l’intervalle [a, b], c’est à dire s’il existe M tel que |f (x)| ≤ M, ∀x ∈ [a, b], alors on obtient la majoration : |f (b) − f (a)| ≤ M |b − a|. L’expression à droite de l’inégalité permet donc de connaître un majorant de la valeur absolue de l’erreur commise quand on approche f (b) par f (a). Traiter les exercices de TD A.2.4, A.2.5 Formule des accroissements finis Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 13 précédent section suivant I.1.6 Formule de Taylor-Lagrange

xn est absolument convergente. 2. |x| > R =⇒ an xn diverge. 3. |x| = R est le cas douteux où on ne peut rien dire sur la nature de la série. 4. Pour tout r ∈ R+ tel que r < R, la série ment) convergente pour |x| ≤ r. an xn est normalement (donc absolu- 2.2.1 Détermination du rayon de convergence Lemme 2.2.1 (Lemme d’Hadamard) Soit relation : an xn une série entière. Le rayon de convergence R est donné par la an+1 1 = lim = lim n−→∞ R n−→∞ an n |an | Preuve. an+1 · En utilisant le critère

moments en trav´e Mt et sur appui e Mw et Me doivent v´rifier : e 1. Mt + (Mw + Me )/2 ≥ M ax (1.05M0 , (1 + 0.3α)M0 ) 2. Mt ≥ (1 + 0.3α)M0 /2 dans une trav´e interm´diaire, e e Mt ≥ (1.2 + 0.3α)M0 /2 dans une trav´e de rive. e 3. la valeur absolue de chaque moment sur appui interm´diaire doit ˆtre au e e moins ´gale ` : e a 0.6M0 pour une poutre ` deux trav´es, a e 0.5M0 pour les appuis voisins des appuis de rive d’une poutre ` plus de a deux trav´es, e 0.4M0 pour les autres appuis

sym´trie du graphe d’une fonction, le calcul de limites, la continuit´, la e e d´rivabilit´, le calcul de d´riv´es et l’´tude des variations d’une fonction. e e e e e 2.1 2.1.1 Notion d’asymptote D´finitions e Soient I ⊂ R , une fonction f : I → R, et Cf sa courbe repr´sentative dans un rep`re orthogonal. e e e • Cf admet une branche infinie si l’une au moins des coordonn´es de l’un de ses points peut devenir, en valeur absolue, arbitrairement grande. • Dans un rep`re (O, ı, ), soit

d´veloppement limit´ en t2 donne, pour t ∈ ]t0 , t2 [, e e 6 OLIVIER DEBARRE valant 0 en t0 . On obtient (en faisant tendre ε vers 0) ek|t−t0 | − 1 k pour tout t dans I (le cas t < t0 se traite de fa¸on similaire, et donne lieu ` la valeur c a absolue dans le membre de droite). Cela entraˆ d’une part l’unicit´ (en prenant ıne e ε1 = ε2 = 0), d’autre part l’existence : si (εm ) est une suite de r´els strictement poe sitifs tendant vers 0, toute suite de solutions εm -approch´es converge uniform´ment