Absolue continuité

26 Séries à termes réels positifs. Applications Les généralités sur les séries numériques sont supposées acquises (chapitre 25), y compris la notion de convergence absolue. 26.1 Séries à termes réels positifs Dans le cas où la suite (un )n∈N et à valeurs positives, la suite (Sn )n∈N des sommes partielles associées est croissante et deux cas de figure peuvent se produire : – soit la suite (Sn )n∈N est majorée et en conséquence elle converge ; – soit cette suite n’est pas majorée et lim

récurrence . . . . . . . . 1.4 Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . Les fonctions 2.1 Les limites d’une fonction 2.2 Opérations sur les limites 2.3 Propriétés des limites . . . 2.4 Continuité . . . . . . . . . . 2.5 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

exercice 8 Soit (un )n∈N une suite décroissante positive de limite nulle. 1. (a) Démontrer que la série k (−1) uk est convergente. n k Indication : on pourra considérer (S2n )n∈N et (S2n+1 )n∈N avec Sn = (b) Donner une majoration de la valeur absolue du reste de la série (−1) uk . k=0 k (−1) uk . n 2. (a) Étudier la convergence simple sur R de la série de fonctions n 1 (−1) e−nx . n n (b) Étudier la convergence uniforme sur [0, +∞[ de la série de fonctions n 1 (−1) e−nx . n Corrigé exercice

convergence est : R = . 3 √ √ 3 3 3 La série est absolument convergente pour tout |x| < et divergente si |x| > . 3 3 2.3 Propriétés Ce paragraphe étudie les propriétés de continuité, de dérivabilité et d’intégrabilité de la fonction somme des séries entières. 25 M r A  N -E  SÉRIES ENTIÈRES 2.3.1 Continuité d’une série entière Proposition 2.3.1 Soit an xn une série entière de rayon de convergence R et soit ∞ n=0 f :] − R, R[−→ R la fonction définie par f (x) = an xn

objectifs était de donner un rythme de travail à une classe qui n'en avait plus. Mais ça, faut pas le dire ! Ce DE-1 fut fait sans calculatrice et portait sur tout ce que l'on peut attendre en début d'année de TS : dérivation, limites et asymptotes, continuité. Il eut lieu à la mi-septembre 2005. Il constitua le premier contact des élèves avec les QCM que l'on retrouve régulièrement dans les sujets de bac. Différence avec les miens, ils sont beaucoup moins difficiles. d) Parmi les fonctions suivantes

M´diane, ´cart moyen minimum. Compl´ments et e e e exercices. e e CHAPITRE 9. Fonctions g´n´ratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D´finitions. Propri´t´s. Sommes de variables al´atoires. Le th´oe ee e e r`me de continuit´. Compl´ments et exercices. e e e 79 99 e CHAPITRE 10. Mesures de Stieltjes-Lebesgue. Int´grale des variables al´atoires r´elles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 e e Mesures. Mesures de Stieltjes-Lebesgue

la différence entre le reste intégral de la formule de Taylor lorsque b=x et le f(n)(a) . On peut écrire cette différence sous la forme : terme (x–a)n n! x (n) (n) ⌠ (x–t)n–1 f (t) – f (a) dt  (n–1)! ⌡ a quantité qu'on peut majorer en valeur absolue, pour x > a, par : x n ⌠ (x–t)n–1 M dt = M (x–a) , où M majore f(n)(t) – f(n)(a)  (n–1)! n! ⌡ a Mais f (t) – f (a) est une fonction continue de t et admet donc un maximum M de la forme f(n)(c) – f(n)(a) , avec c compris entre a et x. Quand x

lorsque les produits np et nq sont supérieurs à 5 : B(n ; p)  N(np ; npq ) Pour améliorer la qualité de l'approximation de la loi binomiale, qui est discrète, par la loi normale, qui est continue, on introduit généralement une correction de continuité de 0,5. Les différentes probabilités deviennent :    p(X < x - 0,5) au lieu de p(X < x) p(X > x + 0,5) au lieu de p(X > x) p(x1 - 0,5 < X < x2 + 0,5) au lieu de p(x1 < X < x2) Exemple : On suppose que la probabilité qu'un étudiant réussisse

lorsque les produits np et nq sont supérieurs à 5 : B(n ; p)  N(np ; npq ) Pour améliorer la qualité de l'approximation de la loi binomiale, qui est discrète, par la loi normale, qui est continue, on introduit généralement une correction de continuité de 0,5. Les différentes probabilités deviennent :    p(X < x - 0,5) au lieu de p(X < x) p(X > x + 0,5) au lieu de p(X > x) p(x1 - 0,5 < X < x2 + 0,5) au lieu de p(x1 < X < x2) Exemple : On suppose que la probabilité qu'un étudiant

la fonction f définie sur R+ par : √ f (x) = x si 0 x 1 et f (x) = ax2 + bx + 1 soit dérivable sur R∗ . + Indication Correction si x > 1 [000699] Exercice 2 1 Soit f : R∗ −→ R définie par f (x) = x2 sin . Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note x encore f la fonction prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f n’est pas continue en 0. Indication Correction [000700] Exercice 3 Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : 1 f1 (x) = x2 cos , si x = 0