Absolue continuité

non formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dénition formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Équivalence des Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 53 53 54 54 9 Notion de la continuité d'une fonction 9.0.45 9.0.46 Les parties compactes de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème (Borel-Lebesgue) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 56 57 Analyse 2 Premier cycle Bekkali 9.0.47 9.0

de cette application partielle en xk : @k f (a) = d (gk )a : 2 ff est di¤érentiable en a ) ( 8i = 1; :::; n, f admet une dérivée partielle par rapport à la k-ième variab La réciproque est fausse en géneral, mais en ajoutant une hypothèse de continuité on a : ff est de classe C 1 (U): , f8a 2 U; et 8k; la dérivée partielle @k f (a) existe et @k f (a) : U ! Lc (Ek ; F ) e Cas E = Rn Si toutes les dérivées partielles de f en a sont dé…nies , on appelle matrice jacobéenne de f en a la matrice. 0

valable sur tout intervalle o` l’int´grande est continu. u e √ Pour h > 0, x + x2 + h > 0, ce qui permet d’ˆter la valeur absolue. o Page 5/49 Jean-Pierre Barani sin(2n + 1)x π dx = sin x 2 D´monstration. Il faut d’abord d´terminer de quel type d’int´grale il s’agit. e e e e La fonction fn , d´finie sur ]0, π/2] par : fn (x) = sin(2n + 1)x sin x Se prolonge par continuit´ au segment [0, π/2] en posant fn (0) = 2n + 1. e L’int´grale propos´e est donc d´finie : c’est celle d’une fonction continue

: { R x → R → 1+λx .x2 n a. Discuter la convergence simple ( suite ou s´rie :` voir )de fonctions selon λ e a b. Etudier la convergence uniforme sur R CCP 41 gn (x) = ln(1 + 2n .x2 ) , et G(x) = 2n+1 gn (x) n 0 Domaine de d´finition, de continuit´ et de d´rivabilit´ de G? e e e e CCP 42 8 points. Cours Soit une s´rie enti`re e e n 0 an z n de rayon R > 0. a. Montrer que la s´rie converge uniform´ment sur B(0,r) pour r < R. e e b. Montrer que la somme est continue sur la boule ouverte

convergence est : R = . 3 √ √ 3 3 3 La série est absolument convergente pour tout |x| < et divergente si |x| > . 3 3 2.3 Propriétés Ce paragraphe étudie les propriétés de continuité, de dérivabilité et d’intégrabilité de la fonction somme des séries entières. 25 M r A  N -E  SÉRIES ENTIÈRES 2.3.1 Continuité d’une série entière Proposition 2.3.1 an xn une série entière de rayon de convergence R et soit Soit f :] − R, R[−→ R la fonction définie par f (x) = ∞ an xn , f est alors

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Continuité 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . 3.2 Théorème des valeurs intermédiaires 3.3 Compléments . . . . . . . . . . . . 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . 4 Dérivation 4.1 Généralités 4.2 Opérations 4.3 Variations 4.4 Exercices . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Continuité 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . 3.2 Théorème des valeurs intermédiaires 3.3 Compléments . . . . . . . . . . . . 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . 4 Dérivation 4.1 Généralités 4.2 Opérations 4.3 Variations 4.4 Exercices . .

n |x - y|  ak+1 - ak  b-a n Choisissons un pas plus fin que h, obtenu pour les entiers n qui vérifient : Calcul intégral. Page 13 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ æb-aö n  Eç ÷+1 è h ø |x - y|  h Ainsi : De la continuité uniforme de ¦, on déduit : |¦(x) - ¦(y)|  e Cette dernière inégalité étant valable pour tous x et y de [ak, ak+1]. En particulier pour un x tel que ¦(x) = Mk et un y tel que ¦(y) = mk (existent bien car ¦ atteint ses bornes) : Mk - mk 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Continuit´ e 2.1 D´finition et propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . e ee 2.2 Th´or`me des valeurs interm´diaires . . . . . . e e e 2.3 Fonction continue sur un intervalle ferm´ born´ e e 2.4 Fonction strictement monotone et continue . . 2.5 Exercices . .

croissante puisque si x < y , FX (y) = FX (x) + µX (]x, y]) ≥ FX (x). limn→+∞ ] − ∞, −n] = ∩n∈N ] − ∞, −n] = ∅ comme limite d'une suite décroissante d'ensembles et limn→+∞ ] − ∞, n] = ∩n∈N ] − ∞, n] = R comme limite d'une suite croissante d'ensembles Par continuité de l'application probabilité, on a limn→−∞ FX (n) = P(∅) = 0 et limn→∞ FX (n) = P(R) = 1. 2. FX est continue à droite car limn→∞ ] − ∞, x + 1/n] = ∩n∈dN ] − ∞, x + 1/n] =] − ∞, x]. De plus, limn→∞ ] − ∞, x − 1/n] = ∩n∈dN ] − ∞, x − 1/n] =] − ∞,