Admète

fonction dérivable sur un intervalle ouvert I : • si f admet un extremum local en un réel a de I, alors f′(a)=0. • Si f′ s’annule en changeant de signe en a, alors f(a) est un extremum local de f. » Remarque : f′ peut s’annuler en un réel a (en ne changeant pas de signe) sans que f admette un extremum local en a. C’est par exemple le cas de la fonction cube en 0.  |Si f admet un extremum local en a, alors sa courbe représentative admet une tangente horizontale au point d’abscisse a.

[0 ; 25]. On note g ′ la fonction dérivée de la fonction g . La fonction g admet le tableau de variations suivant : |[pic] |0 5 25 | |[pic] | − 0 + 0 | | |[pic] 10 | |[pic] |1 | 1. La fonction g admet un minimum a. qui vaut 1 pour x = 5 ; b. qui vaut

égalité du type PQ = RQ par un polynôme Q, on doit s’assurer que Q n’est pas le polynôme nul. 4. Polynôme nul Pour montrer qu’un polynôme est nul, on peut : - montrer qu’il admet plus de racines que son degré ; - montrer que son degré est infini ; - montrer qu’il s’annule sur un intervalle de IR non réduit à un point et admet ainsi une infinité de racines. Si le produit de deux polynômes P et Q est nul (ou s’annule sur un intervalle de IR non réduit à un point), alors P = 0 où Q = 0. ne signifie pas

décroissante sur l’intervalle [−1 ; 2]. On note f ′ sa fonction dérivée sur l’intervalle [−3 ; +∞[. La courbe Γ représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans un repère → → − − orthogonal O, ı ,  . Elle passe par le point A(−3 ; 0) et admet pour asymptote la droite ∆ d’équation y = 2x − 5. 15 14 13 12 11 10 14 y 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Γ ∆ 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 x A −3 -3 −2 -2 -1 −1−1 −2 −3 −4 −5 −6 -1 0 O 1 1 2 2 C 3 3 4 4 5

neutre pour l’ addition: 8x 2 R; x + 0 = x ; 4. tout élément x de R admet un opposé dans R, noté x : 8x 2 R; x + ( x) = 0. Multiplication. L’ opération de multiplication est interne : 8x 2 R et 8y 2 R =) xy 2 R, de plus : 5. elle est associative : 8x 2 R; 8y 2 R; 8z 2 R; (xy) z = x (yz) ; 6. elle est commutative : 8x 2 R; 8y 2 R; xy = yx ; 7. l’ élément 1 est neutre pour la multiplication: 8x 2 R; x1 = x ; 8. tout élément x de Rn f0g admet un inverse dans R, noté x 1 : 8x 2 R; xx 1 = 1 ; 9. la multiplication

x. Si, pour tout entier k 0, la fonction x → |x|k f (x) est intégrable sur R, on dit que f admet des moments de tous ordres. On admettra que pour tout λ ∈ C, x2 dx = exp λx − 2 R λ2 2π exp . 2 A. Questions préliminaires. Les résultats de ces questions, indépendantes les unes des autres, pourront être utilisés dans la suite du problème. 1) Soit f ∈ E . On suppose, dans cette question, que f admet des moments de tous ordres. Montrer l’existence de φ f et de ses dérivées successives que l’on

du physiologiste Claude Bernard. Le chef de file du naturalisme est Émile Zola. Procédés narratifs récurrents : la description, la focalisation externe, le discours indirect libre, etc. Notions proches : réalisme, positivisme  « Doctrine qui (…) admet (…) pour principe que seule la Notions proches : scientisme, réalisme, positivisme. Les patates sont de tres belles choses, elle se mangent, elle se mangent beaucoup et son un des meilleures facteur d’ebola le document est trop court Le réalisme

voisinage d'une valeur pour laquelle la fonction n'est pas définie, la courbe admet une asymptote verticale. Si , alors la courbe de f admet pour asymptote verticale la droite d'équation x = a au voisinage de a. • Lorsque la limite à l'infini est finie, la courbe possède une asymptote horizontale. Si , alors la courbe de f admet pour asymptote horizontale la droite d'équation y = b au voisinage de . • Si , alors la courbe de f admet pour asymptote oblique la droite d'équation y = ax + b au voisinage de

graphique est en un seul morceau. Si la fonction est dérivable, sa représentation graphique admet une tangente en chacun de ses points. Un petit exemple : La fonction dont la représentation est ci-contre, est bien continue en a, car la courbe est en un seul morceau. A Par contre, la fonction n’est pas dérivable en a, car la représentation admet au point A deux demi-tangentes. On dit que la courbe admet un point anguleux O a La fonction valeur absolue x → | x | est continue mais pas

fonction du second degré est une parabole qui admet comme axe de symétrie la droite d'équation . La réciproque est en partie vraie : quelle que soit une parabole donnée, il est possible de choisir un repère orthonormé du plan pour lequel il existe une fonction du second degré dont la parabole est le graphe. Les variations et la forme de la parabole présentent deux cas, suivant le signe du coefficient de second degré a. Si a est positif. La parabole admet un minimum ; la fonction est décroissante sur