Admète

dans Q. Solution 1.2 ♠♠♠ Le but de ce chapitre est de donner les principales idées qui conduisent à la démonstration du théorème suivant. Théorème 1.1 Il existe un corps totalement ordonné R qui contient Q dans lequel toute partie majorée non vide admet une borne supérieure. 3 4 Le corps R des nombres réels Un tel corps est unique à isomorphisme près. On rappelle que, si X est un ensemble non vide, alors une suite d’éléments de X est une application définie sur N (ou une partie de N) à valeurs

l'on avait choisi pour F la fonction définie par F(x) = x 3 − x 2 + sin x + 24, nous aurions encore eu une candidate satisfaisante. Donc si une fonction ƒ admet une primitive, alors elle en admet une infinité. Remarque : la définition reste valable si I est une partie (non vide) de Théorème 1 Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. Nous admettrons pour le moment ce résultat qui affirme l'existence de primitives mais ne précise rien sur leur détermination. Théorème

Définition Générale: F est une primitive de f sur I si et seulement si F est dérivable sur I et si pour tout x dans I, F '(x) = f (x). |Par exemple, si f est définie que IR par: f(x) = 2x, on remarque que la fonction F définie sur IR par F(x) = x² admet pour dérivée f. F est une primitive de f sur IR. Autre exemple, si f est définie par f(x)=2x+1, alors la fontion F définie par F(x)=x²+x+1 est une primitive de f sur IR car la dérivée de F est f sur IR | | |On remarque que si F est une primitive

f est inférieure à g , noté f < g si, et seulement si : ∀ x ∈ I, • f est positive, noté f > 0 si, et seulement si : ∀ x ∈ I, f (x) f (x) • f admet un maximum x M si, et seulement si : ∀ x ∈ I, • f admet un minimum xm , si, et seulement si : ∀ x ∈ I, g ( x ). 0. f (x) f ( x M ). f (x) f ( x m ). • f admet un extremum si, et seulement si, f admet un minimum ou un maximum. Remarque : Deux fonctions ne sont pas toujours comparable (contrairement aux nombres réels). On dit que la relation d’ordre

u(x) = +∞,   • si, pour tout réel x assez grand, on a ƒ(x) £ Soient ƒ, u et v des fonctions définies sur un intervalle du type [a ; +∞[ (a ∈ ) x→+∞ alors ƒ admet une limite en +∞ et lim ƒ(x) = +∞ x→+∞ ¤ • si, pour tout réel x assez grand, on a ƒ(x) v(x) et si lim v(x) = –∞, x→+∞ alors ƒ admet une limite en +∞ et lim ƒ(x) = –∞ x→+∞ L'expression "pour tout x assez grand" Limites et contiuité signifie "pour tout x ∈ ]b ; +∞[ où b page 2 ¥ Théorèmes

x3−150 x+625 est factorisable : x3−150 x+625=(x−5)(x2+5 x−125), maislepolynômededegré2: x2+5x−125 n'estpasfactorisabledansR. Le polynôme de degré 3 : x3−150 x+625 admet un zéro : 5 car 53−150×5+625=125−750+625=0 . n'est pas factorisable dans les réels, ce polynôme n'admet pas de zéros dans les réels. −2 x+3 est déjà factorisé, il admet un zéro, 3 . 2 Lepolynômededegré4 2x4+3x3−49x2−75x−25 estfactorisableen(x+1)(x−5)(x+5)(2x+1)etadmet quatrezéros: −1, −5, −1 et 5. 2 En analyse, on étudiera des

)x + 3 2 1. Montrer que P admet 6 pour racine. 4 2. Trouver l'autre racine (en valeur exacte). Exercice 3 (4 points) On considère la fonction P définie sur  par P(x) = (x +1) – (4x + 2) . 2 2 2 1. Montrer que P est une fonction polynôme dont on précisera le degré. 2. Résoudre l'équation P(x) = 0. Exercice 4 (2 points) Soit P la fonction polynôme définie sur  par : P(x) = a x 2 + bx + c (avec a ¹ 0) Démontrer que : Si a et c sont de signes opposés alors P admet au moins une racine réelle

répartition. On fait les trois hypothèses suivantes: 1. (a) i. Si t appartient à ] 1; 0[, f (t) = 0. ii. Si t appartient à [0; +1[, f (t) est strictement positif. iii. f est continue sur ]0; +1[. 2. Montrer que l’ équation F (x) = 1 admet une solution unique sur 2 ]0; +1[. Cet unique réel, que l’ notera m, sera appelé médiane de X. on 3. Dans cette question, on suppose que X suit une loi exponentielle de paramètre 1. Montrer que X satisfait aux hypothèses du début de l’

0 x0 g(x) =⇒ lim f lim g x0 x0 Théorème 1.3 Soient f , g et h trois fonctions définies sur un voisinage V de x0 , alors : ∀ x ∈ V − {x0 }, f (x) h(x) lim f (x) = lim g(x) = ∈ R x0 9 g(x) = x0 ; h(x) = =⇒ h admet une limite en x0 et lim x 0 Limite d’une fonction composée Théorème 1.4 Soient f et g deux fonctions. Soient x0 , , trois éléments de R. Alors : 9 lim f (x) = = x→x0 lim g(x) = x→ ; =⇒ lim g ◦ f (x) = x→x0 1 Fonction

D´rivation : Cours e I. Nombre d´riv´ en x0 e e 1. D´finition e Soit f une fonction d´finie sur un intervalle ouvert contenant x0 . On dit que f est d´rivable en x0 si e e f Ôx0   hÕ ¡ f Ôx0 Õ la quantit´ e admet une limite finie quand h tend vers 0. h Cette limite est appel´e nombre d´riv´ en x0 et not´e f ½ Ôx0 Õ. e e e e f Ôx0   hÕ ¡ f Ôx0 Õ )) si l’existence de cette limite n’a pas encore ´t´ ee h Remarque : Il ne faut pas ´crire (( lim e h 0 justifi´e. e 2. Meilleure approximation