Admète

logarithme (notée ln) sur ]0 ;+([ ? Justifier le sens de variation de cette fonction sur son ensemble de définition. 2°) On sait que ln2( 0,693 et que ln7( 1,946 . Sans utiliser de calculatrice précisez si l'équation ln x=1,5 admet une solution dans l'intervalle [2;7] et justifiez votre réponse. Exercice 2 Trois faces d'un dé cubique équilibré sont peintes en rouge, deux sont peintes en vert et la dernière en bleu. 1°) On lance ce dé une fois.

variation de la fonction A . 2. On admet que l’aire du domaine délimité par la courbe C et l’axe des abscisses est égale à 1 unité d’aire. Que peut-on en déduire pour la fonction A ? 3. On cherche à prouver l’existence d’un nombre réel α tel que la droite d’équation x = α partage le domaine compris entre l’axe des abscisses et la courbe C , en deux parties de même aire, et à trouver une valeur approchée de ce réel. 1 a) Démontrer que l’équation A (t ) = admet une unique solution sur l’in2 tervalle

. Nombre dérivé en x0 1. Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant x0. On dit que f est dérivable en x0 si la quantité admet une limite finie quand h tend vers 0. Cette limite est appelée nombre dérivé en x0 et notée f '(x0). Remarque : Il ne faut pas écrire « » si l'existence de cette limite n'a pas encore été justifiée. 2. Meilleure approximation affine Théorème 1 f est dérivable en x0 si et seulement si il existe un réel l tel que f(x0+ h) = f(x0)

monotone sur l’intervalle I alors 𝑓 admet une bijection réciproque noté 𝑓−1 définie sur 𝑓(𝐼). 3- Si pour tout 𝑥 > 0, on a : 1 − 4 𝑥 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 3 + 1 𝑥 alors lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 𝑘 avec 𝑘 ∈ [−4; 1]. 4- Si lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = +∞ et lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) 𝑥 = +∞ alors la courbe (𝐶𝑓) admet une branche parabolique de direction l’axe

composition internes 1-) On définit dans I la loi ∗ par: a ∗ b = a + b + ab. R a-) Justifier que ∗ est bien une loi de composition interne dans I R. b-) Montrer que cette loi est commutative. Est-elle associative ? c-) Montrer que ∗ admet un élément neutre. d-) Quels sont les éléments inversibles par rapport à cette loi ? e-) Quels sont les éléments réguliers ? f-) Montrer que I + est stable par ∗. En est-il de même de I – ? de I * ? de Z ? R R R Z –––––––––––––––– a-)

égalité du type PQ = RQ par un polynôme Q, on doit s’assurer que Q n’est pas le polynôme nul. 4. Polynôme nul Pour montrer qu’un polynôme est nul, on peut : - montrer qu’il admet plus de racines que son degré ; - montrer que son degré est infini ; - montrer qu’il s’annule sur un intervalle de IR non réduit à un point et admet ainsi une infinité de racines. Si le produit de deux polynômes P et Q est nul (ou s’annule sur un intervalle de IR non réduit à un point), alors P = 0 où Q = 0. ne signifie

réponse fausse, le total des points de l'exercice ne pouvant être négatif. 1) On considère l'équation (E) : 2 + z ² = 4 + 2 i . ( L'équation (E) admet une solution imaginaire pure. ( Le complexe z = 3 – i est solution de (E) ( Le complexe z = 1 – i est solution de (E) ( L'équation (E) admet exactement deux solutions ayant la même partie imaginaire. 2) L'espace est muni d'un repère orthonormal (O; \d\ba3());i); \d\ba3());j); \d\ba3());k))

finie en un point x 0 ∈ R Soit f une fonction définie sur un intervalle I . 159 C HAPITRE 8 : Limites et comparaison des fonctions numériques Définition 3 Limite finie à gauche en x 0 Soit x 0 un point de I , ou la borne droite de I . On dit que f admet ℓ ∈ R pour limite à gauche en x 0 lorsque : ∃δ > 0/ ∀x ∈]x 0 − δ, x 0 [, | f (x) − ℓ| ≤ ε ∀ε > 0, On le note lim− f (x) = ℓ, lim f (x) = ℓ, lim f = ℓ ou encore f (x) −→ ℓ. − < x→x0 Dans ce cas, on pose f < x0 x →x0 (x 0− ) = ℓ. x →x0 Remarquons

f (x) = 0 admet deux solutions sur cet intervalle. c)D’après les questions précédentes, la fonction f est donc positive sur [– 3 ; a], négative sur [a ; b] et positive sur [b ; 5]. 18  f est dérivable sur [1 ; 2] et f ’ (x) = 6x 2 – 6x pour 18 tout x, soit f ’ (x) = 6x (x – 1). On déduit les variations de f du signe de f ’(x). x 1 α 6x + x–1 + f ’ (x) + f (x) 0 –2 2 3 D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f (x) = 0 admet donc une

on a f(u) < f(v) (respectivement f(u) > f(v) ). On dit qu'une fonction strictement croissante conserve l'ordre (alors qu'une fonction strictement décroissante, elle, inverse l'ordre). Définition: Soit I un intervalle inclus dans Df ; On dira que f admet un minimum en x0 ∈ I (respectivement un maximum) si, pour tout réel x dans I, on a f(x) ≥ f(x0) (resp. f(x) ≤ f(x0) ). Définition: • Une fonction f sera dite minorée sur I ⊂ Df si et seulement si il existe un nombre réel m tel que, pour tout x∈I, on