Admète

point d'interrogation "?" signifie "forme indéterminée" : on ne peut pas donner de réponse dans le cas général, cela dépend des situations. 1. Limite d'une somme Les fonctions ¦ et g ayant une limite (finie ou infinie), la fonction somme ¦ + g admet une limite dans chacun des cas décrits par le tableau ci-dessous : lim g l' +¥ –¥ Exemples : · · · · 1 1 – 1) = +¥ car lim (x – 1) = +¥ et lim =0 2 x ® +¥ x ® +¥ x 2 x ® +¥ x lim (x3 + x + 15) = +¥ car lim x3 = +¥ et lim (x + 15) = +¥ lim (x + x

Considérons les suites composantes de uN = (u1 , . . . , un ) : elles sont toutes bornées, comprises N N entre −1 et 1. En particulier, il existe une sous-suite (u1 1 (N ) ) de (u1 ) qui converge vers l1 . La N ϕ suite (u2 1 (N ) ) est elle-même bornée donc admet une sous-suite (u2 1 ◦ϕ2 (N ) ) convergente vers l2 . ϕ ϕ De proche en proche on construit une sous-suite (uϕ(N ) ) = (u1 ) , . . . , un ) ) de la suite initiale, ϕ(N ϕ(N avec : ϕ = ϕ1 ◦ ϕ2 ◦ · · · ◦ ϕn , Arnaud Guyader - Rennes 2 Variables multiples

point B a pour équation : 0) + f(0) En utilisant les résultats précédents, on obtient donc : y=-x+ 2. Equations et inéquations : a. f (x) = 0 : les solutions sont les abscisses des points de c axe des abscisses. S = {- 2 ; 1} b. x) = 0 : la courbe c admet 4 tangentes horizontales. Les solutions sont les abscisses des 4 points de tangence. S = {- - ; - 3 ; -1 ; 2} c. f (x) d. 3. Les 0 : la courbe c est dessus de axe des abscisses sur [-2 ; 1] . 0 : la fonction f est décroissante sur (x) = 4 solutions

l'équation P(x)=0 Remarque Ne pas confondre les mots "racine" et "racine carrée" ! Définition On appelle discriminant du polynôme P(x)=ax2+bx+c le nombre : Δ=b2−4ac Théorème Si Δ > 0, le polynôme P admet deux racines distinctes : x1= −b−√Δ 2a et x2= −b+√Δ 2a Si Δ=0, le polynôme P admet une racine unique : x0= −b 2a Si Δ < 0, le polynôme P n'admet aucune racine réelle. Exemples P1(x)=−x2+3x−2 Δ=9−4×(−1)×(−2)=1 P1 possède 2 racines : x1= −3−1 −2 =2 et x2= −3+1 −2 =1 P2(x)=x2−4x+4

, f : U ! F où U = Uk , Uk est un ouvert de Ek et a = (a1 ; :::::; an ) k=1 2 U. ff admet une dérivée partielle par rapport à la k-ième variable en a , fla k-ième application partielle On appelle alors dérivée partielle de f par rapport a la k-ième variable en a et on note @k f (a) la dérivée de cette application partielle en xk : @k f (a) = d (gk )a : 2 ff est di¤érentiable en a ) ( 8i = 1; :::; n, f admet une dérivée partielle par rapport à la k-ième variab La réciproque est fausse en géneral

que la courbe représentative d'une fonction f admet une asymptote verticale ? .....................................................................................................35 6.Comment montrer que la courbe représentative d'une fonction f admet une asymptote horizontale ?..................................................................................................36 7.Comment montrer que la courbe représentative d'une fonction f admet une asymptote oblique ?......................

Si A admet un majorant, on dit que A est majorée. On définit de même : minorant, plus petit élément, partie minorée. Unicité Si une partie non vide de R admet un plus grand élément, ou un plus petit élément, il est unique. Mais il peut ne pas exister. FICHE 1 – Nombres réels 7 Surveillez votre vocabulaire : un majorant, le plus grand élément. Cas particulier des entiers naturels Toute partie non vide de N admet un plus petit élément. Toute partie non vide majorée de N admet un plus

l’auteur conteste la thèse «une réflexion rationnelle est forcement meilleure qu’une réflexion qui fait appel à l’imagination». Un autre thème est qu’il y a plusieurs aspects de la recherche scientifique. L’auteur admet que certaines recherches servent de base à d’autres recherches. Il admet aussi que la science peut être comparée à de l’art, et que la science recrée son environnement tout comme l’art. Il réfute par contre que la science est infaillible, ne peut pas se tromper, mais aussi qu’il n’existe

certain rang. Si on prend un réel a quelconque, l'intervalle contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Définitions : - On dit que la suite (un) admet pour limite si tout intervalle, a réel, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang et on note : - On dit que la suite (un) admet pour limite si tout intervalle, b réel, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang et on note : Algorithme permettant de déterminer un rang à partir

devant x2 est positif. De plus f5(0) = 1 4 . Sa courbe est C2 Exercice 2 Forme canonique (2 points) 1) f (x) = −2x2 +8x−13 = −2(x2−4x)−13 = −2[(x−2)2−4]−13 = −2(x−2)2 +8−13 = −2(x − 2)2 − 5 2) Le coefficient devant x2 étant négatif, la fonction f admet un maximum. De plus α = 2 et β = −5. Le maximum est donc −5 obtenu pour x = 2 Exercice 3 Équations et inéquations (6,5 points) 1) −3x2 + 2x − 3 = x − 1 ⇔ −3x2 + x − 2 = 0 ∆ = 1 − 24 = −23 &lt; 0. L’équation n’admet pas de solution S = ∅ 2) x + 1 x