Admète

16 = 0 a = 1 ; b = 6 ; c = - 16 donc = 62 - 4 1 ( - 3 ) = 4 + 12 = 16 = 4 2 2 4 2 4 > 0 donc l’équation admet deux solutions : = 1 et = 3. 2 1 2 1 S={-1;3} ( - 16 ) = 36 + 64 = 100 = 10 2 6 10 6 10 > 0 donc l’équation admet deux solutions : = - 8 et = - 2. 2 1 2 1 S={-8;-2} 4 x2 - 4 x + 1 = 0 a = 4 ; b = - 4 ; c = 1 donc 1 = ( - 4 )2 - 4 4 1 = 16 - 16 = 0 4 1 = 0 donc l’équation admet une solution : = . 2 4 2 1 S={ } 2 4 x2 - 4 x + 2 = 0 a = 4 ; b = - 4 ; c = 2 donc = ( - 4 ) 2 - 4 4 2 =

monotone sur D1 (resp. strictement monotone sur D1 ) si f est croissante ou décroissante sur D (resp. strictement croissante ou décroissante sur D1 ). Théorème Soit f : D → R strictement monotone sur D. On a : 1. f est une bijection de D sur f (D) et admet une fonction réciproque notée f −1 . 2. f −1 est une bijection strictement monotone de f (D) sur D, f −1 a même monotonie que f . 3. Dans un plan muni d’un repère (O,￿ ￿ orthonormé C et C ￿ courbes représentatives i, j) de f et f −1 sont symétriques

x ) = -- + ----- . x x Déterminer le sens de variation de f sur ]0 ; + ∞ [ . Tracer la courbe , représentative de f, dans un repère orthonormal ( O ; i, j ) d’unité graphique 1 cm. Calculer f ( 2 ) et f ( 3 ) . Dire pourquoi l’équation f ( x ) = 1 admet une seule solution dans ]0 ; + ∞ [ , notée α. Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10 – 2 (à l’aide de la calculatrice). Tracer, dans le même repère, la droite D d’équation y = 2x . Résoudre graphiquement l’inéquation f ( x ) ≤ 2x . Soit g la

dé cubique parfait dont les faces sont numérotées de 1à 6 et l’on note a le résultat du premier lancer et b le résultat du second lancer. On considère alors l’équation du second degré x + ax + b = 0 Calculer la probabilité pour que cette équation admette : - Deux solutions distinctes. - Une solution double. - Aucune solution 2 Exercice 11 Une urne contient 3 boules rouges et deux boules noires indiscernables au toucher. L’expérience aléatoire consiste à tirer une boule deux fois deux de suite lors

1) 0 Pour x0, 0 On en déduit que f ’(x) 0 d’où f est strictement croissante sur [0 ; +[ (f ’(x) ne s’annule que pour x = 0) b) L’axe des abscisses est-il tangent à la courbe (C) au point O ? On a f(0) = 0 et f ’(0) = 0 d’où la courbe de f admet au point O une tangente horizontale donc l’axe des abscisses, (Ox), est tangent à (C) au point O. 2) On pose I = . a) Déterminer trois réels a, b et c tels que = a x + b + . ax + b + = On en déduit que = ax + b + équivaut à : =

affixes respectives des points D, G et H. 1. d = −2 + i : d est l’affixe de D qui est l’image de C par rA ; Or rA admet pour écriture complexe : z '− z A = e i π 2 ( z − z A ) ⇔ z '− a = i ( z − a ) ⇔ z ' = i ( z − i ) + i = iz + 1 + i ; Donc d = z D = izC + 1 + i = ic + 1 + i = i × 3i + 1 + i = −2 + i . 2. g et h : De même, g est l’affixe de G l’image de D par rB; Or rB admet pour écriture complexe : π 2 z '− z B = e i ( z − zB ) ⇔ z '− b = i ( z − b ) ⇔ z ' = i ( z − ( 1 +

ou x = 5. 1 d. 5x2 + x = 0 ⇔ 5x(x + ) = 0 ⇔ x = 0 ou 5 1 x=− . 5 Chapitre 1 ■ Second degré 7 4 a. L’équation f(x) = 0 admet deux solutions qui sont −2 et 1. L’équation g(x) = 0 admet les mêmes solutions. L’équation h(x) = 0 admet deux solutions qui sont −3,5 et 2,5. b. L’inéquation f(x) 0 admet comme solution l’ensemble ]−∞ ; −2[ ]1 ; +∞[. L’inéquation g(x) 0 admet comme solution l’ensemble ]−2 ; 1[. c. Le sommet de f a pour cordonnées (0,5 ; 2,25). Les sommets de g et h ont pour coordonnées

décroissante. 1 f (x) = ln x2 + 1 + x Exercice 3 [ 01783 ] [correction] Soit f : [0, 1] → [0, 1] une fonction croissante. Montrer que f admet un point fixe. Exercice 4 [ 00501 ] [correction] Soit f une fonction croissante de [0, 1] dans [0, 1]. a) Montrer que s’il existe x ∈ [0, 1] et k ∈ N tels que f k (x) = x alors x est un point fixe pour f . b) Montrer que f admet un point fixe. Calcul de limites Exercice 5 [ 01784 ] [correction] Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent : √

les xk sont de mˆeme signe (large). xk k=1 x.y (x et y de mˆeme signe); n n k=1 ❤ D´efinition 5. Si X est un ensemble muni d’une relation d’ordre et A ⊂ X, on d´efinit : 1) les majorants de A: ce sont les M ∈ X tels que ∀x ∈ A, x M . Si A admet au moins un majorant, on dit que A est major´ e; 2) le maximum ou plus grand ´ el´ ement de A: c’est l’unique ´el´ement (si il existe) a ∈ A tel que ∀x ∈ A, x a, on le note max(A); 3) la borne sup´ erieure de A comme le plus petit ´el´ement de l’ensemble

lère division avec O S rl < b. 10.a = b.ql+ rl 2ème division b-ième division lob-l.a = b.qbW1 rb.l + Deux cas se présentent : avec O < rb_l < b. rp = 0. ler cas : 3 p E (O, 1, 2 ,...,b-1) tel que La division s'arrête, et dans ce cas x = a/b admet une écriture décimale limitée : x = aoa1 ...a k , a k + l ...an. 2ème cas : V p E (0,1,2,...,b-1) rp # 0. Mais alors, comme les valeurs des restes possibles sont prises dans l'ensemble ( 1,2,3..., b-1 ] ; au bout de la b-ème division, au plus, il