Analyse vectorielle

Chapitre n°13 : Vecteurs (Partie n°1) I. Notion de vecteur 1. Translation et vecteur Définition : Soient A et B deux points du plan. À tout point C du plan, on associe l’unique point D tel que [AD] et [BC] aient le même milieu. On dit que D est l’image de C par la translation qui à A associe B. Illustration : A reprendre : les deux illustrations de la vidéo Définition : vecteur La translation qui à A associe B s’appelle aussi la translation de vecteur Représentation graphique : Si les points A et

Feuille Exo 1 I. Colinéarité de deux vecteurs u et ⃗v sont colinéaires SSI il existe λ≠0 tel que ⃗ u =λ ⃗ v . Définition : Deux vecteurs non nuls ⃗ Définition : Par convention, ⃗ 0 est colinéaire à tout vecteur. u ( x ) et ⃗v ( x ' ) sont colinéaires SSI x y '− x ' y=0 Propriété : Dans un repère du plan, ⃗ y y' Démonstration : II. Vecteur directeur d'une droite u est un vecteur directeur d'une droite d s'il existe A et B deux points de d distincts tels Définition : Un vecteur ⃗ ⃗ que AB=⃗ u . Remarque

réalité, la dimension a de nombreuses définitions, dont quelques unes en mathématiques et d’autres en physique. En Physique Le terme “dimension” renvoie à deux notions complètement différentes: Il utilise beaucoup la notion mathématique d’espace vectoriel. Ainsi, la dimension d'un espace est le nombre de variables qui servent à définir un état, un événement. Par exemple, on dit classiquement que notre univers est à quatre dimensions, puisqu'un événement se définit par la position dans l'espace (x

ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur Introduction : vecteurs, matrices et applications linéaires Opérations sur les vecteurs Vecteur x base (canonique) bi , i=1,n espace vectoriel V sur le corps des réels combinaison linéaire sous espace vectoriel base, dimension  x1      n     x = xi = ∑ xi bi   i =1   x   n  soient ( xi ∈ V )i = 1, k 0     bi =  1     0   k x ∈ Rn ∀x, y ∈ V , ∀λ , µ ∈ R λx + µy ∈ V i =1 k  α i xi α i ∈ R ∑  

Chap 11 Relations d’ordre, r´els e 1 1.1 Relation d’ordre D´finition g´n´rale e e e ee Remarque. On admet la notion intuitive de relation (binaire) entre 2 ´l´ments d’un ensemble E. D´finition. Soit ¤ une relation sur E. On dit que ¤ est une relation d’ordre si et seulement si : e (a) (b) (c) dpx, yq € E 2, px ¤ y et y ¤ xq ùñ x  y 3 ¤ est transitive i.e. dpx, y, z q € E , px ¤ y et y ¤ z q ùñ x ¤ z ¤ ¤ est r´flexive i.e. dx € E, x ¤ x e est antisym´trique i.e. e D´finition. Soit

sous espace vectoriel de E u-stable, v = u/F, alors π v /πu . 3.1 Valeurs propres, vecteurs propres d’un endomorphisme 3.2 Valeurs propres, vecteurs propres d’une matrice. . . . . 3.3 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 Diagonalisation Trigonalisation 2 2 2 2 3 K désigne R ou C, E un K-espace vectoriel . 2.2 Polynôme de matrice 1 Sous espaces stables par un endomorphisme Définition 1 : Soit u ∈ stable) si (E), un sous espace vectoriel F de E est

Exercice 7 *** I Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. On suppose que u et v commutent et que v est nilpotent. Montrer que det(u + v) = detu. Correction [005657] Exercice 8 **** Soit A une matrice carrée de format n. Montrer que A est nilpotente si et seulement si ∀k ∈ [[1, n]], Tr(Ak ) = 0. Correction [005658] Exercice 9 *** I Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie vérifiant f g − g f = f . Montrer que f est nilpotent

si les conditions i et ii sont satisfaites : i) il existe un espace vectoriel de dimension n, muni d’une base quelconque ; ii) tout élément de cet espace est transformé linéairement, par chaque opération du groupe, en un élément du même espace. Alors, à chaque opération de symétrie peut être associée la matrice de cette transformation linéaire, qui est une matrice carrée n × n dont l’expression dépend de la base. L’espace vectoriel constitue un espace de représentations, cette base est la base de la

ouverts disjoints d’un espace vectoriel norm´. Montrer que U et V sont disjoints. e Donner un contrexemple lorsque U et V ne sont pas ouverts. Exercice 2. A ouvert disjoint de B Soient A, B deux parties d’un espace vectoriel norm´ disjointes. Si A est ouvert, montrer que A et B sont disjoints. e ◦ Exercice 3. U = U . ◦ Soit U un ouvert d’un espace vectoriel norm´. Montrer que U = U . e Exercice 4. Fronti`re d’un ouvert e Soit U un ouvert d’un espace vectoriel norm´. Montrer que la fronti`re

problème On considère un espace vectoriel de dimension , dont on connaît une base On considère une famille de vecteurs de cet espace vectoriel On appelle la matrice dont les vecteurs colonnes sont formés par les composantes des vecteurs dans la base Par exemple si l'espace vectoriel est de dimension 3 et que l'on a La matrice sera égale à : Nous avons démontré l'an dernier que cette matrice est inversible si et seulement si la famille est une base de l'espace vectoriel. La matrice est alors appelée