Angles d'Euler

nul et forme trigonométrique (ou exponentielle) Notation : A tout réel  , on associe le complexe noté ei  défini par : ei   cos()  isin() . Questions : 1. Quel est le module de ei  ? 2. Que vaut e i i  2 , e , e 3i 2 ? Formules d’Euler : cos      ei  ei 2 sin     ei  ei 2i Propriété :   ,   2 , on a : i) ei()  ei ei  ii) ei   ei      2 Conséquence:  n   cos   isin n  cos(n )  isin(n ) (Formule de Moivre). Définition

z)Sn . Indication pour l’exercice 12 Le premier ensemble est une droite le second est un cercle. Indication pour l’exercice 13 Pour l’interprétation géométrique cherchez le parallélogramme. Indication pour l’exercice 15 Utiliser la formule d’Euler pour faire apparaître des cosinus. Indication pour l’exercice 16 Appliquer deux fois la formule de Moivre en remarquant ei5θ = (eiθ )5 . 5 Correction de l’exercice 1 Remarquons d’abord que pour z ∈ C, zz = |z|2 est un nombre réel, ce qui

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.2 Méthode d'Euler (explicite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.3 Méthode d'Euler implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.4 Schéma de CrankNicholson et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.5 Méthode d'Euler améliorée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.6 Méthode du

Méthode des Trapèzes La méthode d'approximation d'une intégrale ainsi dénommée repose sur le calcul de l'aire d'un trapèze, vue comme l'intégrale d'une fonction affine f sur IR, donc du type :" f(x) = Ax + B" , pour tout couple (a;b) de réels, on a, comme le montre un calcul sans difficulté particulière : f(x)dx = [A + Bx = (b - a)x , car  b 2 − a 2  =  b − a   b  a  Cette formule d'intégration est à rapprocher de celle qui donne l'aire d'un trapèze, si on interpréte, dans

(y) − H(y) − Cx pl+1 (y)2 , où Cx est une constante bien choisie. 4. On suppose ici l’intervalle [a, b] borné. Montrer que pour tout f ∈ C 2l+2 ([a, b]), il existe ξ ∈ [a, b] tel que 1 E(f ) = pl+1 2L2w f (2l+2) (ξ). (2l + 2)! Exercice 4 (Formule d’Euler-Maclaurin) [1] 1. On commence par démontrer les résultats suivants. Il existe une unique suite de polynômes (Bn )n∈N , appelée suite des polynômes de Bernoulli, telle que : 3 (a) B0 = 1, (b) Bn = nBn−1 si n ≥ 1 (c) 1 0 Bn (s)ds = 0 si n ≥ 1.

n! e On se propose de d´montrer la formule de Stirling : e √ n! ∼ nn e−n 2πn +∞ ————— I Constante d’Euler —– 1 1 On consid`re la s´rie de terme g´n´ral un = − ln(1 + ) n ≥ 1. e e e e n n 1. Montrer que la s´rie e un converge 2. En d´duire que : e n 1 lim ( − ln(n) ) = C n−>+∞ k k=1 o` C est une constante r´elle, C > 0. C est la constante d’Euler. u e II Formule de Stirling —– an+1 −n n On pose : pour n ≥ 1, an = n!.n e , vn = ln( ) an 1. Exprimer

l'exercice 2: 1-On sait que la figure est un octogone regulier, donc AIB= 360°/8= 45° 2- On sait que la somme des angles d'un triangle est de 180° et que la figure est un octogone régulier donc les triangles AIB et BIC sont par conséquent isocèles, l'angle ABI = l'angle IBC= (180-45°)/2= 67.5 ° 3-L'angle ABJ, étant un angle plat, mesure 180°. De plus, on sait que les angles ABI et IBC mesurent les deux 67.5° donc l'angle CBJ= 180- (2 X 67.5)= 45° 4-Si et seulement si cette figure à n côtés

Les probabilités I Expérience aléatoire A L’univers Définition : On appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat n’est pas prévisible de façon certaine. Exemple : Le lancer d’un dé équilibré à 6 faces constitue une expérience aléatoire : il existe 6 résultats possibles, dont aucun n’est prévisible de façon certaine. Définition : On appelle univers d’une expérience aléatoire, noté Ω (« oméga »), l’ensemble des résultats possibles de l’expérience. Exemple : L’univers

Calcul des probabilités Issam Elhattab École Nationale de Commerce et de Gestion - Casablanca Université Hassan II - Mohammedia 2011 - 2012 I. Elhattab (ENCG) Calcul des probabilités 2011 - 2012 1 / 29 Sommaire 1 Notions de base 2 Définition de probabilité 3 Probabilité conditionnelle et indépendance I. Elhattab (ENCG) Calcul des probabilités 2011 - 2012 2 / 29 Notions de base Notions de base I. Elhattab (ENCG) Calcul des probabilités

2nde Cours de probabilités : partie 1 1) Définition et vocabulaire Une issue est un résultat d’une expérience. Exemples d’issue: le résultat d’un lancer d’un dé (un numéro par exemple : 2), une victoire, une défaite ou un match nul à la fin d’un match de foot, la note d’un examen blanc, la valeur d’une carte. Une expérience aléatoire est une expérience qui comporte plusieurs issues envisageables et dont on ne peut pas prévoir l'issue qui se réalisera. Exemples d’expérience aléatoire