Angles d'Euler

æ du ö La méthode d'Euler permet de calculer, pas à pas, les valeurs de uC et de ç C ÷ à intervalles de è dt ø temps réguliers choisis Dt. Si Dt est considéré comme suffisamment petit dans le cadre de l'expérience, on peut écrire : æ du ö uC(t + Dt) = uC(t) + ç C ÷ ×Dt . On choisit Dt = 1 ms. è dt øt a) A l'aide de l'équation différentielle établie à la question 2.1., déterminer la valeur initiale de la æ du ö dérivée notée : ç C ÷ . è dt ø0 b) En appliquant la méthode d'Euler, compléter le tableau

CM et C' M colinéaires CM x+2 y 8 CC' 3 7 d’où M (CC' ) -7x-3y+10=0 (CC’) : -7x-3y+10=0 6) Soit G centre de gravité du triangle ABC. 12 2 CG = CC' 3 1 13 H,G, R sont alignés. La droite (GH) est la droite d’Euler. 8) 2 xG + 2 = 3 10 3 G(0; ) 2 3 yG 8 = ( 7) 3 4 2 7) HR( 3;2 ) HG( 2; ) donc HG = HR donc 3 3 5 3 A1( ; ) 2 2 3 3 B1( ; ) 2 2 1 ;3 ) 2 C1( 2;5 ) K( 1;5 ) 1L'ensemble des solutions de 14 l'inéquation est S= S( 9) SA1 = SB1 =SC1 =

consiste à utiliser la linéarité pour séparer l'intégrale d'une somme en une somme d'intégrales. L'exemple le plus simple est celui des polynômes. On peut aussi intégrer des polynômes en et , ou bien et . On utilise pour cela les formules d'Euler, et les propriétés de l'exponentielle (réelle ou complexe). Le principe est le suivant : tout polynôme en et est une combinaison linéaire de termes de la forme , qu'il s'agit de linéariser, en les exprimant eux-mêmes comme combinaisons

DM Droite D'Euler 1/ Dans le triangle ABC on sait que I est le milieu de [BC] or si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment. De plus les médiatrices d'un triangle sont concourantes et leur point de concours est le centre du cercle circonscrit à ce triangle par conséquent (OI) est la médiatrice du segment [BC] D'après ce qui précède on a (OI) médiatrice de [BC] or la médiatrice d'un segment est la droite qui coupe

 initiale de la fraction 2 10 x 12 x20 x3 3 x5 Exercice : Simplifier  2 ,    2   et   x 3 x−4 x – 3x−40 x3 – 8 Emilie Cravero Avril 2009 Transformations mathématiques Révisions Trigonométrie cos x = e e 2 ix −ix Formules d'Euler : eix −e−ix sin x= 2i et    Formules toujours utiles à connaître :  sin ab=sin a cos bsin b cos a cos  ab=cos a cos b−sin asin b 3 2 Exercices : Linéariser   A=cos x   et   B=cos x sin x Emilie Cravero Avril 2009 Transformations mathématiques

Devoir maison no 1∗ : les nombre complexes Exercice 1 On considère l’application f qui à tout nombre complexe z différent de 1, associe le nombre complexe 2 − iz f (z) = . 1−z L’exercice étudie quelques propriétés de f . − → Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O , → , − ) d’unité graphique 2 cm, dans u v lequel seront représentés les ensembles trouvés aux questions 1) et 2). A est le point d’affixe 1 et B celui d’affixe −2i. 1) On pose z = x + iy avec x et y réels. écrire f (z) sous

1S1 – Corrigé DM10 A. La droite d'Euler d'un triangle 1. Faire une figure soignée Le dessin peut être fait avec Sine qua non [pic] 2. Soit h l'homothétie de centre G qui transforme A en A'. a) On sait que le centre de gravité d'un triangle est situé aux deux-tiers de la médiane. Plus précisément, si A' est le milieu de [BC] alors on a : =. On en déduit : 3=2 Donc : 3=2+2 Donc : =2 Finalement : =-)). Donc

1 − cos(2x) + + cos(4x) dx 4 2 8 8 π 2 = = 3x 1 1 − sin(2x) + sin(4x) 8 4 32 3π 16 0 Cette méthode est un peu (trop) longue, et risquée, et demande une bonne mémoire de la 1ère ! (2) la meilleure, linéariser avec l'aide des formules d'Euler : sin4 x = = eix − e−ix 2i 1 4ix (e − 4e2ix + 6 − 4e−2ix + e−4ix ) 16 1 4 QUELQUES RAPPELS JUSTE AVANT L'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES 2 (on a utilisé la formule du binôme de Newton avec les coecients de la 4e ligne du triangle

 Résolutions  numériques  d'équations   différentielles                   Logiciel  de  calcul  utilisé:  Scilab  5.1       I  Utilisation  de  la  méthode  d'Euler.               C'est   une   méthode   numérique   nommée   ainsi   en   référence   au   mathématicien  Leonhard  Euler  qui  sert  à  résoudre  des  équations  différentielles

série de Grégory : +∞ π (−1)n = 4 2n + 1 n=0 Cette série converge lentement : R10 9.072 3 × 10−2 , R100 9.900 7 × 10−3 , R1000 9.99 × 10−4 Le théorème des séries alternées nous dit que cette erreur est majorée par Une formule d’Euler : +∞ π=2 n=0 4 . 2n + 3 2n (n!)2 (2n + 1)! On a : R10 4.866 3 × 10−4 , R100 −5. 048 7 × 10−29 La série de Machin donne une meilleure approximation : +∞ π = 16 n=0 +∞ (−1)n 1 (−1)n −4 52n+1 2n + 1 2392n+1