Angles d'Euler

d’un point du solide Os et des rotations dans le repère R1 (Os, x,y,z). La rotation du solide autour de Os peut être engendré par trois paramètres qui sont ses degrés de liberté dans R1(Os, x,y,z). Il est commode de prendre comme paramètres les angles d’Euler ψ ,θ , ϕ définit comme suit: 2.5.1 Précession (ou) est la droite de vecteur unitaire u située à l’intersection du plan (Os, x, y) et le plan (Os, xs, ys) intrinsèque au solide (S):   il résulte que:u .z = u .z s = 0 , (ou)= ligne des nœuds

vecteur ?? ne  s’exprime  qu’en  fonction  d’un  seul  vecteur  unitaire : ?? = ?? ⃗ Propriétés :  Il  faut  remarquer  que,  à  l’inverse  de  ? qui  a  la  dimension  d’une  longueur,  ?  ??  ? sont des angles, ils sont donc sans dimensions.  Les vecteurs ? ⃗ et ? ⃗ dépendent des angles ?  ??  ?  Le vecteur ? ⃗ ne  dépend  quant  à  lui  que  de  l’angle  ?  Expression  du  gradient  d’une  fonction  f  exprimée  dans  un  système  de  coordonnées  sphérique : ⃗ ????  ? = 

|eiθ | = 1 ⇔ sin2 θ + cos2 θ = 1 −iθ iθ Re(x + iy) = x e +e 2 Im(x + iy) = y = cos θ et (⇒ sin θ, cos θ ∈ [−1, 1]) eiθ − e−iθ = sin θ 2i formules d’Euler iφ z x + iy zz xx − yy + i(xy + yx ) e ei(θ+φ) = eiθ eiφ = cos φ + i sin φ cos(θ + φ) = cos θ cos φ − sin θ sin φ sin(θ + φ) = sin θ cos φ + sin φ cos θ formules d’addition des angles z2 x2 − y 2 + 2ixy cos(2θ) = cos2 θ − sin2 θ = 2 cos2 θ − 1 = 1 − 2 sin2 θ (zz avec z = z ) sin(2θ) = 2 sin θ cos θ formules de duplication d’un angle

. . . . . . . . 3.3.1 Une « définition » des fonctions t → eit , t → cos t et t → sin t 3.3.2 Propriétés de l’application eit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Premières propriétés des fonctions x → sin x et x → cos x . . 3.3.4 Formules d’Euler, linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Utilisation de la formule de De Moivre . . . . . . . . . . . . . 3.3.6 Deux sommes trigonométriques classiques . . . . . . . . . . . 3.3.7 La fonction tangente x → tan x . . . . . . . . . . .

− e −ix Vous pouvez aussi utiliser la formule d’Euler : sin x = et dériver cette expression sachant que 2i ieix − (−ie −ix ) eix + e −ix ax ax (e )' = ae on obtient : (sin x)' = = = cos x . 2i 2 On peut objecter qu’historiquement, l’existence même et la légitimité de la notation eix dépend justement du fait que sin’ = cos. 1.2.7 (cos x ) ′ = − sin x (cos x )′ = (sin( π 2 − x ))′ = − cos( π 2 − x ) = − sin x Avec la formule d’Euler : cos x = (cos x)' = ieix − ie −ix − eix + e

2. Synth`se : Propri´t´ fondamentale . . . . . . . . . . . e ee 3. R´solutions par le calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.1. Equations simples . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Equations plus compl`tes . . . . . . . . . . . . e [Th`me) Angles orient´s] . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 1. Mesures en radians d’un angle orient´ . . . . . . . . . e 2. Propri´t´s usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 3. Configurations usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Applications

d’un quotient. In´galit´ triangulaire ; interpr´tation en termes de e e e distances. b) Groupe U des nombres complexes de module 1 D´finition du groupe U des nombres complexes de module e 1. Cercle trigonom´trique. e D´finition de eiθ , relations d’Euler. e Morphisme θ → eiθ de R dans U. Formule de Moivre. La construction du corps C n’est pas exigible des ´tudiants. e Notations Re z, Im z, z . ¯ Interpr´tation g´om´trique des transformations e e e z → z , z → z + b. ¯ Notation |z| ; relation |z|2

Sujet 013 : Orthocentre 7 11.  Sujet 015 : Distance de deux droites dans l’espace 8 12.  Sujet 016 : Modélisation d’une situation géométrique 8 13.  Sujet 019 : Spécialité, Cryptographie 9 14.  Sujet 021 : Equation différentielle et méthode d’Euler 11 15.  Sujet 025 : Suite définie par récurrence 12 16.  Sujet 026 : Barycentre 12 17.  Sujet 027 : Triangle d’aire maximale 13 18.  Sujet 029 : Spécialité, PGCD 13 19.  Sujet 030 : Spécialité, famille de cercles 14 20.  Sujet 031 : Tangentes

phénomène du flambage a été décrit par le mathématicien originaire de Bâle Léonhard Euler 1707 - 1783 . Celui-ci a déterminé la valeur théorique pour laquelle une barre se dérobe sous un effort de compression. Cette valeur, appelée charge critique d'Euler, est égale à la valeur suivante:  2 * E * Inertie Charge critique = longueur de flambage 2 ETC Fribourg - Cours de RDM version 3.8 - septembre 2011 Page 37 La charge critique décrite par Euler est une valeur théorique valable pour un matériau

représentent en fait que 10 paramètres de projection, à savoir les coordonnées pixels (u0, v0) du point principal, les coordonnées métriques du centre de projection de la caméra (X0, Y0, Z0), un facteur d’échelle, la distance principale et les trois angles d’Euler définissant le changement de repère entre le repère de la caméra et le repère spatial (Hatze, 1988). Un des coefficients de la DLT est donc redondant. Dans ces conditions, Hatze (1988) proposa la méthode DLT modifiée également nommé MDLT.