Anneau euclidien

192 2e année 61 170 172 175 Espaces préhilbertiens 194 2e année Applications linéaires particulières 1re année 62 63 64 65 Orthogonalité 2e année 199 54 55 56 57 Écritures matricielles 1re année Espaces vectoriels euclidiens 2e année 203 Calcul matriciel 1re année Endomorphismes orthogonaux 2e année 204 Changements de bases 178 1re année Systèmes linéaires 1re année 181 Endomorphismes symétriques 2e année 208 VII Partie 5 – Géométrie

´e — La th´orie axiomatique des ensembles 8 — El´ments de th´orie na¨ des ensembles 9 — Applications 11 e e ıve 2 Les entiers naturels — L’ensemble I et la r´currence 14 — Ensembles finis 15 N e 3 Arithm´tique e — Divisibilit´ et division euclidienne 18 — Plus grand commun diviseur 19 — Th´or`me de Bezout 20 — Nombres e e e premiers 22 4 Structures alg´briques g´n´rales e e e — Relations binaires et lois internes 24 — Groupes 25 — Anneaux et corps 27 24 29 5 Le corps des r´els e —

Permutations 36 II 38 Arithmétique 14 Congruences 38 15 Pgcd 40 16 Relation de Bézout 42 1 17 Factorisation en nombres premiers 43 18 Propriétés de Q 44 19 Propriétés de Z/nZ 45 III 47 Polynômes 20 Polynômes 47 21 Division euclidienne 51 22 Racines de polynômes 54 23 Polynômes irréductibles 58 24 Fonctions symétriques 59 25 Fractions rationnelles 61 26 Décompositions de fractions rationnelles 62 27 Décomposition en éléments simples 64 28 Division suivant les puissances

34 34 36 37 38 39 14 Congruences 15 Pgcd 16 Relation de Bézout 17 Factorisation en nombres premiers 18 Propriétés de Q 1 19 Propriétés de Z/nZ 40 III Polynômes 42 42 45 48 51 52 53 54 56 58 20 Polynômes 21 Division euclidienne 22 Racines de polynômes 23 Polynômes irréductibles 24 Fonctions symétriques 25 Fractions rationnelles 26 Décompositions de fractions rationnelles 27 Décomposition en éléments simples 28 Division suivant les puissances croissantes IV Algèbre

299 299 300 301 302 Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 331 333 24. Géométrie dans l’espace Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 343 343 346 348 350 22. Espaces vectoriels euclidiens Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 305 305 308 313 315 25. Courbes du plan Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 357 357 360 362

319 319 321 325 326 Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 359 361 24. Géométrie dans l’espace Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 371 371 374 376 378 22. Espaces vectoriels euclidiens Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 333 333 336 341 343 25. Courbes du plan Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 385 385 388 390

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégration, approximation Espaces vectoriels euclidiens, géométrie 69 70 71 72 Approximation d’un nuage de points par une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algèbre linéaire euclidienne, polynômes 86 87 89 90 Puissances, commutant de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algèbre linéaire euclidienne, polynômes Composée de deux rotations dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Géométrie

supposées connues (voir le chapitre 16). On rappelle que l'ensemble K [X] des polynômes à une indéterminée et à coecients dans un corps commutatif K est une K-algèbre commutative, unitaire et intègre (voir les chapitres 10 et 11). L'anneau K [X] est euclidien, donc principal et factoriel. En particulier, on dispose des notions de pgcd, ppcm et du théorème de Bézout qui nous dit que, pour r ≥ 2, les polynôme P1 , · · · , Pr sont premiers entre eux dans leur ensemble si, et seulement si, il existe des polynômes

X0 •  à t+1: [R 0, R 1,… R r-1] : Pt+1(X) = R r-1.Xr-1+ R r-2.Xr-2 + …+ R 0.X0 = (Rr-2 + gr-1.Rn-1)Xr-1+…+ (Ri-1 + gi.Rn-1)Xi+…+(vin+ g0.Rn-1)X0 = X.Pt(X) - Rn-1.g(X) + vin.X0 = [ X.Pt(X) mod g(X) ] + vin.X0 •  Si K=corps : Reste division euclidienne polynômiale par g(X) dans K[X] 61 Plan du cours •  •  •  •  Introduction : Notion de code Définition, distance, effacements et erreurs Code de Hamming Codes détecteurs d erreur –  –  –  –  LFSR et polynômes. Corps de Galois

stimul´ee pour qu’ils souhaitent aller plus loin dans l’approfondissement de leur apprentissage math´ematique d’une part et de leur connaissance de ces domaines passionnants d’autre part. 3 4 Table des mati` eres 1 Arithm´ etique 1.1 Division euclidienne . . . . . 1.2 pgcd et ppcm . . . . . . . . . 1.3 Th´eor`eme de B´ezout . . . . . 1.4 Algorithme d’Euclide ´etendu 1.5 Quelques cons´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .