Anneau euclidien

D´ecembre 2004 Ce document est la premi`ere partie d’un cours d’arithm´etique ´ecrit pour les ´el`eves pr´eparant les olympiades internationales de math´ematiques. Le plan complet de ce cours est : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Premiers concepts Division euclidienne et cons´ equences Congruences ´ Equations diophantiennes Structure de Z/nZ Sommes de carr´ es Polynˆ omes ` a coefficients entiers Fractions continues Cette premi`ere partie traite les quatre premiers chapitres. Les quatre derniers chapitres forment

il y a équivalence entre les 4 propriétés • f est continue sur E • f est continue en 0 • il existe une constante K > 0 telle que f (x )  K x • f est Lipschitzienne sur E Ex : Sur E = IR2 muni de son produit scalaire ( espace euclidien ) , les endomorphismes orthogonaux vérifient f (x )  x , ils sont donc continues sur E Contre ex : la dérivation sur l’ensemble des polynômes est linéaire mais pas continue Th : Toute application linéaire d’un espace vectoriel E de dimension

Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Dimensions . . . . . . . . . . 1.2.2 Matrices . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Déterminants . . . . . . . . . 1.3 Algèbre bilinéaire . . . . . . . . . . . 1.3.1 Espaces préhilbertiens . . . . 1.3.2 Espaces euclidiens . . . . . . . 1.3.3 Automorphismes orthogonaux 7 7 7 7 8 10 11 11 12 12 12 13 14 14 15 15 17 17 17 18 18 19 19 20 21 21 22 23 23 23 24 25 25 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TRAVAUX CRYPTOGRAPHIQUES. Transformation – Codage – Cryptage Affine. I- Cryptage: 1- |A |65 |66 |B | |B |66 |70 |F | |C |67 |74 |J | |D |68 |78 |N | |E |69 |82 |R | |F |70 |86 |V | |G |71 |90 |Z | |H

espaces euclidiens 137 4.2.1 4.2.2 137 141 Produit scalaire Orthogonalité Table des matières 4.3 4.4 4.5 CHAPITRE 5 5.1 5.2 CHAPITRE 6 6.1 © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. 6.2 6.3 Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien 146 4.3.1 4.3.2 146 153 Endomorphismes symétriques Endomorphismes orthogonaux Adjoint 158 4.4.1 4.4.2 158 162 Adjoint d’un endomorphisme d’un espace euclidien Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien Réduction

xp Ł p=0 k=0 d’o` d◦ (P Q) = d◦ P + d◦ Q. u On a P Q = QP , (P Q)R = P (QR) et P (Q + R) = P Q + P R. Exemple 1.1.2 Soient P (x) = 1 + x + x2 et Q(x) = 1 + x + 2x2 + 3x3 , on a (P Q)(x) = 1 + 2x + 4x2 + 6x3 + 5x4 + 3x5 . 1.1.1.3 Division euclidienne de polynˆmes ou division suivant les puissances o d´croissantes e Proposition 1.1.1 Pour tous polynˆmes A et B (B = 0), il existe un et un seul polynˆme o o Q appel´ quotient, et un et un seul polynˆme R appel´ reste, tels que A = BQ + R avec

1 Probl` me e [D’apr` s ENS option TA 1993] e ` NOTATIONS ET OBJECTIFS DU PROBLEME E est un espace vectoriel euclidien de dimension n ∈ N∗ . E × E → R, (x, y) → x, y est le produit scalaire sur E. x, y est la norme associ´ e au produit sca1aire. e E → R, x → x = L(E) est l’ alg` bre des endomorphismes de E, (O(E), ◦) est le groupe orthogonal de E, tA est la transpos´ e e e de la matrice A, F ⊥ est l’ orthogonal du sous espace vectoriel F de E, Imf et ker f d´ signent l’image et

INTERROGATION : VECTEURS Durée 1h - Il sera tenu compte de la rédaction et de la propreté Exercice 1 : (5 points) Dans la figure cicontre, représenter : le vecteur u + v à partir du point A. u A le vecteur v − u à partir du point B. le point P tel que PA = u le point Q tel que BQ = 2v v B Exercice 2 : (8 points) Soit A  1; −  , B  − ; 2  , C ( 0;3) et D  ; −  . 2   2  2 2 1a. Déterminer les coordonnées du milieu I de [AC]. 1b. Les points I, B et D sont-ils alignés ? 2.

v) →< u, v >= v ∗ u = scalaire sur E. Si K = C on l’appelle plutˆt produit hermitien. o est appel´ produit e ui vi D´finition 7 (et propri´t´) < u, v >= < v, u >. Un espace vectoriel sur R muni d’un produit scalaire e e e est appel´ espace euclidien et un espaces vectoriel sur C muni d’un produit hermitien est appel´ espace e e hermitien. D´finition 8 Deux vecteurs u et v sont dits orthogonaux si et seulement < u, v >= 0. On ´crit que u⊥v. e e remarque Le vecteur nul est orthogonal ` tout vecteur

b Î n). Réciproquement, soit (H, +) un sous-groupe de (, +). Alors H est non vide. Si H = {0}, alors H est bien de la forme n avec n = 0. Supposons désormais H ¹ {0}. Posons : n = min{x Î H, x > 0} Î H Ç  Soit h Î H. On effectue la division euclidienne de h par n : $!(q, r) Î 2, h = nq + r avec 0  r < n Or, n Î H et H est un groupe, donc : Or, h Î H et H est un groupe, donc : nq Î H h - nq Î H rÎH Et comme 0  r < n, on a nécessairement : D'où : r=0 h = nq h Î n H Ì n Enfin, comme n Î H et