Approximation affine

| |[pic] donc [pic] | | 6) Approximation affine de exp(x) au voisinage de 0 : ex = e0 + 1 . x + x ( (x) avec [pic] ex – 1 = x + x ( (x) donc [pic] Théorème : [pic] IV) Dérivées et primitives : 1) Dérivée de eu : Théorème : Si u est dérivable sur un intervalle I , eu est dérivable

*Conséquence : ∀(a ;b) ∈ R² exp(a) 0 sur [0 ; +∞[ d’où ex – x > 0 donc ex > x donc limg(x) = + ∞ x->+∞ *en -∞ limex = lime-x = lim(1/ex) = O x ->-∞ X ->+∞ X ->+∞ Approximation affine au voisinage de 0 f(x)= ex est dérivable en 0 donc elle admet une app affine. f(x0+h) ≃ f(x0) + hf’(x0) avec x0 = 0 e0+h ≃ e0 + he0 eh ≃ 1+h (quand h proche de 0) Conséquence Puisque, pour tout h ∈ R, eh = 1+h+hε(h) avec limε(h)= 0 On a alors, pour tout

asymptotes. e) Construire ci-dessous la courbe représentative de cette fonction, ainsi que les asymptotes. Préciser les points d’intersection avec les axes. 5 Exercice 4 ( suite) f) Déterminer l'approximation affine de h au point : x0 = 3 g) En utilisant cette approximation, calculer une valeur approchée à 10 près du réel h (3,01). -5 6 Cette dernière page vous permet de reprendre ou de terminer une question. Préciser bien le numéro de l’exercice. 7 y 4 3 2

qu’il fallut attendre la Renaissance pour en avoir une meilleure approximation ! Comment s’y sont-ils pris ? Pour calculer a, par exemple 2, prenons en une première approximation : a1 soit a1 = 1,6 (Cette première valeur peut être quelconque non nulle.) Choisissons comme seconde approximation : b1 = a a1 soit b1 = 2 1,6 = 1,25. Si a1 est trop petite, alors b1 sera trop grande et vice-versa, donc une approximation meilleure sera donnée par la moyenne : c1 = 1 2 (a1 + b1) soit

périmètre du cercle est : PI x d (diamètre) La formule pour l’aire du cercle est: A= rayon x rayon x PI 2)Histoire de PI, l'histoire du nombre “π” De grands scientifiques ont cherché toutes sortes de formules permettant de calculer une approximation du nombre «π». π est un nombre réel qui permet de calculer le périmètre (ou circonférence) d'un cercle par rapport à son diamètre. Sa valeur approchée est 3,14. Pourtant, ce n'est pas un nombre décimal. Autrefois, on utilisait la fraction

̂ABC , on utilise la formule suivante : ⃗BA .⃗BC =BA×BCcos(̂ABC) Comme ⃗BA.⃗BC= l2 2 ,BA=l et BC=2 l , on obtient cos(̂ABC)= l2 2 2 l2 = 1 4 On obtient ̂ABC≈76° ,à 1 degré près ̂DBF=180−90−̂ABC≈14° à 1 degré près Pour déterminer une approximation en fonction de l de la longueur BF , on utilise la formule : ⃗BD.⃗BF=BD×BFcos(̂DBF) Comme ⃗BD.⃗BF= 3l2 2 ,BD=l et ̂D BF≈14 ° , on obtient BF l = 3 l2 2 l2 cos(̂BDF ) ≈ 3 2cos(14) D'où BF≈1,55 l Autrement dit, BF est un peu plus de une

DUPONT Marie Pour le 26.09.14 4ème B DEVOIR MAISON DE MATHEMATIQUES _______________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________ Présentation : /3 points PARTIE 1 : (rappel : ) Précision /4 points Encadrement Par défaut Par excès Unité Dixième Centième Millièmes PARTIE 2 : Exercice n°35 p 19 : /2 points 1. Une valeur

conditions aux limites de Neumann 8.4 Problèmes elliptiques sous forme divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Approximation variationnelle 87 9.1 Approximation interne et système matriciel équivalent . . . . . . . . . . . . 87 9.2 Convergence de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 10 Méthode des éléments finis en dimension 1 10.1 Éléments finis P1 . . .

Une première approximation de pi La première approximation connue du nombre provient des Babyloniens. Considérons la reproduction suivante d’une tablette de Suse : Il s’agit en fait d’une table donnant l’aire (colonne de gauche) d’une série de figures (colonne de droite). Un premier exemple est donné à la ligne 27 : 2;37,30 IGIGUB SASAG 6 qui signifie : 2,625 est la constante du polygone régulier à 6 côtés La « constante » désigne ici l’aire et correspond (approximativement) à celle d’un

guéris. Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de 0,95 puis de 0,99. Pour , Pour , Remarques 1. Quand on sait qu’une suite converge vers une limite , on peut considérer que pour assez grand le terme de rang constitue une approximation de . N. Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13 Page 3 Ici, on inverse les rôles. On connaît la limite, mais pas les valeurs des termes de la suite. On admet donc que, sous certaines conditions, on peut approcher le terme de rang