Approximation affine

Chapitre 13 – Évaluer ses capacités – Résolution détaillée Exercice 100 1. Méthode 2. On commence par calculer les coordonnées des vecteurs et : donc donc . . On constate que les vecteurs et ont les mêmes coordonnées. Ces vecteurs sont donc égaux. On en déduit que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. On utilise la méthode décrite dans l’exercice résolu 4, page 319 Conseil • Attention à l’ordre des points. ABCD parallélogramme alors = • On peut vérifier graphiquement les coordonnées

f(x) = 4(x - 3)^2 - 1, on effectue : f(5) = 4(5 - 3)² - 1 = 4x2²2 - 1 = 4 x4 - 1 = 16 - 1 = 15. • Calculer un antécédent par la fonction f d'un nombre réel a, c'est résoudre l'équation f(x) = a. Ainsi, chercher l'antécédent de 3 par la fonction affine f, définie sur Ensemble R par f(x) = 2x - 1, revient à calculer la valeur de x telle que 2x - 1 = 3. • Attention, pour certaines fonctions un réel peut avoir plusieurs antécédents. Il peut aussi n'avoir aucun antécédent. • Soit une fonction f

VECTEURS ET DROITES En 1837, le mathématicien italien Giusto BELLAVITIS, ci-contre, (1803 ; 1880) publie des travaux préfigurant la notion de vecteurs qu'il nomme "segments équipollents". Puis plus tard au XIXe siècle, le mathématicien et physicien allemand Hermann GRASSMANN (1809 ; 1877) pose les bases des opérations sur les segments orientés pour les besoins de la mécanique : addition de forces, de vitesses... Le calcul vectoriel prend alors réellement son essor. I. Colinéarité de

Exercices du chapitre VIII : Espaces vectoriels Soit E un espace vectoriel sur le corps K. Montrer les relations suivantes : ∀λ∈K ,∀X∈E (a) 0X = λ0 = 0 [deux de ces 0 sont dans E, et un seul (lequel?) est dans K]. (b) (−λ)X = −(λX) = λ(−X) on notera −λX cet ´l´ment. ee (c) (−1)X = −X (d) (−λ)(−X) = λX No 1 Solution (a) On a indiqu´ en caract`re gras le 0 de K. En utilisant (EV2) e e 0X = (0 + 0)X = 0X + 0X , puis en utilisant les propri´t´s de groupe dans E, ee 0 = 0X + (−0X) = 0X + 0X +

sous la forme de cette droite est donc (1 ; ) . Un vecteur directeur • Cette droite (d) est la représentation graphique de la fonction affine : . Exemple: Soit (d) la droite d’équation cartésienne: • Son équation réduite est de la forme: = -2 • Un vecteur directeur de cette droite est (1 ; -2) • Cette droite est la représentation graphique de la fonction affine . III) Récapitulatif : Equations cartésiennes et équations réduites Cas où et Equation cartésienne Equation réduite Représentation

continuité et les diérents types de diérentiabilité (dérivée directionnelle, Gâteaux-diérentiabilité, Frêchet-diérentiabilité) ; et nous terminerons par une étude des extréma d'une fonction convexe. 3 Chapitre 1 ENSEMBLES CONVEXES SUR UN ESPACE AFFINE REEL 1.1 Dénitions et propriétés algébriques Soit E un espace ane réel. Dénition 1.1.1. Soient x et y deux points de E . On appelle y l'ensemble [x; y] = {αx + (1 − α)y; α ∈ [0; 1]}. segment d'extrémités x et Dénition 1.1.2. Une partie

FONCTIONS Fonctions affines Exercices de révision Mathématiques Entrée en Seconde Fonctions affines Difficulté * Facile ** Moyen *** Difficile Exercice 1 * : Compléter un tableau de valeurs g est la fonction définie par g(x) = 2x – 5. a) g est-elle une fonction affine ? Justifier. ………………………………………………………………………………………………… b) Compléter le tableau de valeurs : x – 5,5 –3 0 15 g ( x) 0 5 2,1 c) Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ? Justifier. …………………………………………………………………………………………………

CINÉTIQUE DES SYSTÈMES MATÉRIELS La cinématique concerne les positions, vitesses et accélérations de systèmes matériels. cinématique : géométrie + temps (purement mathématique) La cinétique se construit à partir de la cinématique en rajoutant la notion de masse ; son objet est l’étude des mouvements de systèmes matériels, indépendamment des causes qui les produisent. cinétique : cinématique + masse La dynamique, elle, a pour objet l’étude des mouvements en liaison avec leurs causes. dynamique

VECTEURS ET DROITES I. Colinéarité de deux vecteurs Définition : Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires signifie qu’ils ont même direction c’est-àdire qu’il existe un nombre réel k tel que u  kv . Critère de colinéarité : x  x' Soit u et v deux vecteurs de coordonnées   et   dans un repère (O, i , j ).  y  y ' Dire que u et v sont colinéaires re ient dire que les coordonnées des deux ecteurs sont proportionnelles soit : xy’ – yx’ = 0. Démonstration : Exemple :

Rang d'un système de vecteurs III : Somme de sous–espaces vectoriels 1) Somme de deux sous–espaces vectoriels 2) Somme directe de deux sous–espaces vectoriels 3) Supplémentaires 4) Cas de la dimension finie IV : Espaces affines 1) Définition 2) Barycentres 3) Sous-espaces affines 4) Parties convexes Annexe : un exemple de changement de repère, l'effet Doppler-Fizeau et le paradoxe des jumeaux ¡ ¡ désigne un corps commutatif, et plus spécialement un sous–corps de Dans toute la suite, plus souvent