Arithmétique des polynômes

. . . . . . 158 12.2 Approximation de la racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6 13 Complexes et polynômes 13.1 Racines carrées d’un complexe . . . . . . . . . . 13.2 Positions des racines d’un polynôme . . . . . . . 13.3 Racines d’un polynôme à coefficients réels . . . 13.4 Contrôle du module d’une racine d’un polynôme 13.5 Théorème fondamental de l’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

converge vers 1, abscisse du point d’intersection des droites d’équations y = x et y = 2x −1. b. La suite (vn), définie sur ℕ par vn = un −1, est géométrique. c. La suite (vn) est majorée. d. La suite (wn), définie sur ℕ par wn = ln (un −1), est arithmétique. 4. Deux suites (xn) et (yn) sont définies pour n > 0 par les relations : xn = 1 1 1 1 1 1 et yn = . + + ... + + + ... + n n+1 2n n+1 n+ 2 2n a. Les suites (xn) et (yn) sont toutes les deux croissantes. b. x3 = 37 19 et y3 = . 60 20 c. Les

3 256€= 6 1 8 6561 = 8 6561 = 3 € B. Propriétés € Les propriétés des puissances à exposants entiers restent valables dans le cas des puissances à exposants rationnels. Si toutes les racines sont définies, les racines carrées arithmétiques et les racines n ièmes vérifient par conséquent les propriétés suivantes : 1) n Si n est pair, a m = n ⎧ a a n = ⎨ − a ⎩ a≥ 0 a< 0 En particulier € € n Si n est impair, a n n an = a 13 € si si

maison, en classe) 2 BACS Blancs prévus (oral+écrit) Mathématiques Programme général : Fonction de référence Dérivation Etude de variation d’une fonction Suites numériques – Généralités Suites arithmétiques et géométriques Statistiques Probabilités Loi binomiale Polynômes du second degré Géométrie plane Trigonométrie Produit scalaire Méthode de travail : Apprendre son cours régulièrement (le soir après une séance de mathématiques et revoir le cours la veille d’une séance)

. . . . . . . . 57 59 VIII Étude des suites réelles I II A B III A B C IV V VI A B VII A B IX I II A B C D E III A B A Index Différents modes de définition d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Suites arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Rappels de première S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 TD : suites ariméthico-géométriques . . . . . . . . . . . .

moyenne, et le 3-DES est pratiquement 3 fois plus lent. De plus l'algorithme DES ne traite que des blocs de (seulement) 64 bits. En pratique DES peut être implémenté de manière ecace, en matériel ou en logiciel. En eet, les seules opérations arithmétiques à eectuer sont les ou -exclusifs de chaînes de bits. Les diérents calculs de la fontion f pouvant être eectués par des accès de tables (en logiciel) ou par un cablage de circuit adapté (en matériel). 4 1.1.5 Modes d'utilisation DES étant

considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par : vn = 4 un . Démontrer que (vn) est une suite arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme. En déduire, pour tout entier naturel n, l’expression de vn en fonction de n. Pour tout n de N, vn+1 − vn = 4 un+1 − 4 un = 4 4un un +4 − 4 un = 4(un +4) 4un − 4 un = un +4 un − 4 un = un un = 1. La suite (vn) est donc une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme v0 = 4 u0 = 4. On a donc, pour tout n de N, vn = v0 +n×1 = 4+n = n+4. On

modélisation macroéconomique comme processus de communication - réflexions pour une formalisation finaliste des équations de comportement", Mimeo GAMA, Université de Paris X-Nanterre, mai. (première version juin 1994). (1998), "De la précision arithmétique des ordinateurs - proposition d’algorithmes de calculs scientifiques de haute précision", Mimeo GAMA, Université de Paris X-Nanterre. (1999.a), SIMUL - Manuel de références et guide d’utilisation version 3.1, Mimeo GAMA, Université de Paris X-Nanterre

K-espace vectoriel des fonctions de classe C k (I ) à valeurs dans K, où I est un intervalle de R non réduit à un point, sont des espaces vectoriels qui ne sont pas de dimension finie. • Exemples Exercice 1.1 On considère une suite (Pk )k∈N de polynômes de K [X ] telle que pour tout k dans N on a deg Pk = k. 1) Montrer que pour tout n dans N la famille (Pk )0 2) Montrer que (Pk )k∈N est une base de K [X ]. n k n est une base de Kn [X ]. 1) Soit (l1 , . . . , ln ) dans K tel que (1) n k=1

Analyse 107 16. Ensembles, fonctions et hypothèse du continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 17. À la gloire des inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 18. Un théorème de Pólya sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 19. Sur un lemme de Littlewood et Offord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 20. La fonction cotangente et l’astuce de Herglotz . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 21. Le problème