Arithmétique des polynômes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.13. Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.14. Polynômes du second degré ; forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2. Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1. Description

intervalles 4.1 Introduction à l’arithmétique par intervalles . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Théorie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Les intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Arithmétique des intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Résolution de système d’équations non linéaires. . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 L’inversion ensembliste . .

0 lorsque n < p. ) Ainsi, une série « dérivée » d’une série géométrique est une série le polynôme défini sur C par un : z → zn . 104 u(p) (z), où un est n D’autres séries de référence ® Remarque Une série géométrique est une série « dérivée » d’une série géométrique. On pourrait définir de même une série « dérivée p-ième » d’une série vn , où (vn ) (p) vn (z), pour est une suite de polynômes définie sur C, comme étant une série ′ un nombre complexe z. Avec ces notations, supposons que

décroissante, notons sa limite. Les limites et sont des solutions de l’équation f ◦ f (x) = x. Cette équation s’écrit (1 − f (x))2 = x, ou encore (1 − (1 − x)2 )2 = x soit x2 (2 − x)2 = x. Il y a deux solutions évidentes 0 et 1. Nous factorisons le polynôme x2 (2 − x)2 − x en x(x −√ 1)(x − λ )(x − µ) avec λ et µ les solutions de l’équation x2 − 3x + 1 : √ 3− 5 3+ 5 λ = 2 = 0, 3819 . . . et µ = 2 > 1. Les solutions de l’équation f ◦ f (x) = x sont donc {0, 1, λ , µ}. Comme (u2n ) est croissante et que

Recueil d’annales en Mathématiques Terminale S – Enseignement de spécialité Arithmétique Frédéric Demoulin1 Dernière révision : 20 février 2010 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini2 1. frederic.demoulin (chez) voila.fr 2. gilles.costantini (chez) bacamaths.net Annales Terminale S Arithmétique Tableau récapitulatif des exercices ⋆ indique que cette notion a été abordée dans l’exercice N° Lieu Année ROC QCM VF Divisibilité ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

I.R.E.M. de Toulouse Pour un suivi en arithmétique de la Troisième à la Terminale Groupe Second Cycle : Bernard Destainville, Sophie Dupuy - Touzet, Marc Ducret, Jean-Marc Gibert, Alain Viet, Bernard Vinter. Sommaire PRÉLIMINAIRE...................................................................................................1 Arithmétique, maths hermétiques ?.....................................................................1 INTRODUCTION....................................

d’un système de Cramer 68 69 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 73 3.1 Éléments propres 74 3.2 Polynôme caractéristique 79 3.3 Diagonalisabilité 86 3.4 Trigonalisation 98 3.5 Polynômes d'endomorphismes, polynômes de matrices carrées 106 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.5.4 106 109 116 118 CHAPITRE 3 3.6 CHAPITRE 4 4.1 4.2 IV 68 Généralités Polynômes annulateurs Théorème de Cayley et Hamilton Idéaux de K [X] (PSI Applications de la diagonalisation 119 3.6.1 3.6.2

l' +∞ ou -∞ +∞ ou -∞ +∞ ou -∞ Alors f x g ou (un x vn) a pour limite l x l' +∞ ou -∞ +∞ ou -∞ suivant les signes suivant les signes pas de résultat général +∞ - ∞ : Factorisation du terme "dominant". (terme de plus haut degré pour un polynôme) ∞ : Factorisation des termes "dominants" puis simplification. ∞ 0 : Factorisation d'un terme tendant vers 0, puis simplification. 0 0 x ∞ : peut en général se ramener à l'une des formes ∞ ou 0 . 0 ∞ Lorsque des racines carrées interviennent et que

.. Il fallait dire comment un polynôme se calcule mieux par l'algorithme de Horner, et que l'on ne résout pas un système linéaire par celui de déterminants. Le message ne passait pas toujours facilement. Un géographe était venu me trouver me demandant de calculer les coefficients d'un polynôme du 28e degré passant par 29 points donnés. Le calcul était instable, et j'obtins à grand peine des coefficients sur le 650 IBM. Le géographe ne fut pas content. Ce polynôme était censé représenter le relief

3.1.2 Somme et somme directe de plusieurs sous espaces 3.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Sous espace stable par une application linéaire . . 3.2.3 Polynômes annulateurs d’une application linéaire . 3.3 Matrices d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .