Automorphisme

Par exemple : (f + g)2 = f 2 + f o g + g o f + g2 Considérons l'ensemble des automorphismes de E. Cet ensemble est non vide (il contient Id), stable par o. Tout élément admet un inverse qui est lui–même linéaire. En effet : f–1(y+y') = f–1(f(x) + f(x')) si y = f(x) et y' = f(x') = f–1(f(x+x')) par linéarité de f = x + x' = f–1(y) + f–1(y') On montre de même que f–1(λy) = λf–1(y). On note GL(E) l'ensemble des automorphismes de E, appelé groupe linéaire de E. Il s'agit d'un groupe avec la composée des

f . 1. Montrer que f est un automorphisme de E. 2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur α pour que g soit un auto- morphisme de E. 3. Déterminer le noyau et l’image de g en donnant une base de chacun de ces espaces. Correction no 100. 1. f est linéaire, de E dans E. De plus, f(P) = 0 ⇔ P = P′. Or si P est non nul, deg(P′) < deg(P) et P 6= P′. Donc f(P) = 0⇔ P = 0, et Kerf = {0}. f est injectif, et comme E est de dimension finie, f est un automorphisme. 2. g est un endomorphisme car

équidistants de a et b. Groupe orthogonal Soit E un espace euclidien, . Les automorphismes φ de E tels que ∀x ∈ E ∀y ∈ E, < φ(x), φ(y) >=< x, y > (∗) forment un groupe pour la loi de composition. De plus, (*) est équivalente à ∀x ∈ E, φ(x) = x Il est donc équivalent de dire que l’automorphisme φ conserve le produit scalaire ou qu’il conserve la norme. Définition : Le sous-groupe du groupe linéaire Gl(E) formé des automorphismes φ qui conservent la norme est appelé le groupe orthogonal. On le note

ii. OM 2 + OM ' 2 = a 2 + b 2 (précision : OM 2 = ( OM OM ). ) L’aire du parallélogramme « formé par O, M et M ' » est constante égale à a b . IV. RECHERCHE D’UNE ISOMÉTRIE AFFINE 13. On note O ( En ) le groupe des automorphismes orthogonaux de En . Soit ( x1 , x 2 , ..., x n ) et ( y1 , y 2 , ..., y n ) deux familles de vecteurs de En vérifiant G ( x1 , x 2 , ..., x n ) = G ( y1 , y 2 , ..., y n ) . On veut montrer qu’il existe u ∈O ( En ) vérifiant : pour tout entier

euclidienne de M0 P par Π. 1. Montrer que φ est un endomorphisme de E. 2. Exprimer φ(Li ) en fonction de Li . En déduire que φ est un endomorphisme autoadjoint de E. 3. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur M0 pour que φ soit un automorphisme orthogonal de E. Quelle est alors sa nature géométrique ? 1 d’après Centrale PSI Math 2 M 2002 1 4. On note B(0, 1) = {P ∈ E | P P ∈B(0,1) 2 ≤ 1}. Exprimer et P ∈B(0,1) min φ(P )|P max φ(P )|P à l’aide des M0 (i)

maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile I : Incontournable ***** très difficile Exercice 1 *** Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E. Montrer qu’il existe un projecteur p et un automorphisme g de E tel que f = g ◦ p. Correction [005598] Exercice 2 **I Soient E un C-espace vectoriel non nul de dimension finie n et f un endomorphisme de E tel que ∀x ∈ E, ∃p ∈ N∗ tel que f p (x) = 0. Montrer que f est nilpotent. Correction [005599]

g´om´trie. e e e En premi`re ann´e, le programme d’alg`bre et g´om´trie combine l’´tude de l’alg`bre lin´aire (espaces vectoriels, e e e e e e e e applications lin´aires, alg`bres, dimension, rang, calcul matriciel, espaces vectoriels euclidiens, automorphismes e e orthogonaux) et de ses interventions en alg`bre, en analyse et en g´om´trie affine et euclidienne ; il comporte e e e en outre l’´tude de l’arithm´tique ´l´mentaire et des polynˆmes ` une ind´termin´e. e e ee o a e e En seconde ann´e, le programme

g´om´trie. e e e En premi`re ann´e, le programme d’alg`bre et g´om´trie combine l’´tude de l’alg`bre lin´aire (espaces vectoriels, e e e e e e e e applications lin´aires, alg`bres, dimension, rang, calcul matriciel, espaces vectoriels euclidiens, automorphismes e e orthogonaux) et de ses interventions en alg`bre, en analyse et en g´om´trie affine et euclidienne ; il comporte e e e en outre l’´tude de l’arithm´tique ´l´mentaire et des polynˆmes ` une ind´termin´e. e e ee o a e e En seconde ann´e, le programme

Riemann V.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.2. Exemples de groupes d’automorphismes . . . . . . . . . . . . . . . V.2.1. Le groupe des automorphismes de C . . . . . . . . . . . . . V.2.2. Le groupe des automorphismes de la sphère de Riemann . . V.2.3. Le groupe des automorphismes du disque unité D . . . . . . V.3. Le Théorème de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.4. Régularité au bord des transformations conformes . . . . . . . . . Exercices

polynômes caractéristiques on a Âu = Âu1 :Âu2 et Âv = Âv1 Âv2 . Toute racine de Âu1 = Âv1 est racine commune de Âu et Âv . Absurde. c) Les seuls sous-espaces stables à la fois par u et v sont E entier et f0g. 22a) uj est, comme u, un automorphisme, qui conserve la dimension: donc Gj = u¡j (H) est, comme H, un hyperplan. b) On a dim G0 = dimH = n ¡ 1; dimG0 \ G1 ¸ n ¡ 2; : : : dimG0 \ : : : \Gn¡2 ¸ 1 en vertu du car si H1 est un hyperplan et F un sev, on a dim(F \ H1) ¸ dimF ¡ 1. car F