Automorphisme

vectoriel de dimension finie f : application linéaire rg f : rang de f Ker f : noyau de f Isomorphisme – Endomorphisme – Automorphisme – Un isomorphisme d’espaces vectoriels est une application linéaire de E dans F bijective. – Un endomorphisme de E est une application linéaire de E dans E. – Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. On note GL( E) l’ensemble des automorphismes de E. 16 [1] Mathématiques Endomorphisme nilpotent On dit qu’un endomorphisme f d’un K-espace-vectoriel E est nilpotent

Soient f, g ∈ L(R2 ) tel que f 2 = g 2 = 0 et f ◦ g = g ◦ f . Calculer f ◦ g. Exercice 115 [ 02688 ] [correction] Soit ω une racine primitive n-ième de 1. On pose 1 Fω (P ) = √ n n−1 P (ω k )X k k=0 pour tout P ∈ Cn−1 [X]. Montrer que Fω est un automorphisme de Cn−1 [X] et exprimer son inverse. Exercice 116 [ 03160 ] [correction] Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie n 2. a) Indiquer des endomorphismes de E dont la représentation matricielle est la même dans toutes les bases de E. b)

condition est-elle bijective ? b) Montrer que l’application F : G → Af f (R) définie par F (a, b) = fa,b est un morphisme de groupes. c) Montrer enfin que F est un isomorphisme de groupes. En déduire que Af f (R) n’est pas un groupe abélien. 4 - Les automorphismes intérieurs de G a) Soit g ∈ G, et ϕg : G → G définie par ϕg (h) = g h g −1 (on note g −1 le symétrique de g pour ). Montrer que ϕg est un endomorphisme du groupe G, puis qu’il est bijectif (on donnera l’automorphisme réciproque). b) Montrer que

..  . 0 et f ∈ L(E) tel que f n = 0 Exercice 34 Mines-Ponts MP [ 02688 ] [correction] Soit ω une racine primitive nème de 1. On pose 1 Fω (P ) = √ n n−1 0  P (ω )X k=0 k k pour tout P ∈ Cn−1 [X]. Montrer que Fω est un automorphisme de Cn−1 [X] et exprimer son inverse.     1  0 Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Exercice 37 [ 00720 ] [correction] Soit f ∈ L(E) tel que f 2 = 0. Montrer qu’il existe une base B telle que la matrice de f dans B

Nous voulons demontrer un resultat classique concernant l'inverse d'une matrice triangulaire. Soit T l'ensemble des matrices triangulaires superieures appartenant a Mn(K ). Soit T 2 T inversible. Soit f : M 2 T 7?! TM 2 T . Montrer que f est un automorphisme de l'espace vectoriel T . En deduire que T ?1 est triangulaire superieure. Soit T 2 T inversible. Montrer qu'il existe P 2 K X ]; T ?1 = P (T ) ; En deduire que T ?1 est triangulaire superieure. 45. (a) Soit G l'ensemble des matrices triangulaires

n et B une base orthonormale, u un endomorphisme de E de matrice A e dans B. Montrre que u est un automorphisme orthogonal si et seulement si t A.A = In si et seulement si A est inversible d’inverse t A. CCP 96 8 points. a. (E, | ) d´signe un espace euclidien et u un endomorphisme de E. On suppose que ∀(x,y) ∈ E 2 , e x|y . Montrer que u est bijectif. b. Montrer que l’ensemble des automorphismes orthogonaux de E muni de la loi ◦ est un groupe u(x)|u(y) = CCP 97 E = R3 . Soit u ∈ E/ u = 1 et

est inversible. Dans ce cas, la matrice de f −1 dans les bases ε et e est A−1 , ou encore : Matε,e (f −1 ) = Mate,ε (f ) −1 Cas particulier : matrice d’un automorphisme dans une base Soit E un espace vectoriel sur K, de dimension n 1, muni d’une base e. Soit f un endomorphisme de E, de matrice A dans la base e. Alors f est un automorphisme de E si et seulement si A est inversible dans Mn (K). En d’autres termes, on a l’équivalence : f ∈ GL(E) ⇔ A ∈ GLn (K). En cas d’inversibilité, la matrice de

conjugué de = . = 2.4.2. Propriétés (1) est une involution de . Le conjugué de . Ceci prouve que est involutive (son carré est identique à la coïncidence) (2) L’involution est un automorphisme pour l’addition : = . Si . = (3) L’involution est un automorphisme pour la multiplication: = .Si = = . La conjugaison est un automorphisme du corps complexe. 2.5. Module d’un nombre complexe 2.5.1. Définition C’est le nombre réel, positif ou nul ; définit ainsi une application de f: . . Le module de se note +:

(xi ) une famille finie d’entiers distincts. Montrer que le polynôme (X − xi ) − 1 est irréductible sur [X]. indication. Commencer par montrer qu’il l’est sur [X] ; supposer pour cela P = QR et trouver des zéros de Q + R. Automorphismes de [X] Déterminer tous les automorphismes de l’algèbre Polynômes de Hilbert Soit Δ l’endomorphisme de [X] defini par Δ : P(X) → P(X + 1) − P(X). Quel est son noyau ? Son image ? 1 Soit Hk (X) le polynôme k! X(X − 1)… (X − k + 1). Montrer que P(X) = k (Δk P)(0)Hk (X)

transporte les trois lois, c'est-à-dire si l'on a toujours : f (x + y) = f (x) + f (y) ; f (x y) = f (x) f (y) ; f (λx) = λ f (x) . et si f (1 E ) = 1 F . Un morphisme f de E dans F est un isomorphisme si f est bijectif, un endomorphisme si E = F, un automorphisme si E = F et f bijectif. 140 Nombres complexes 45 1re année 1. 1.1 Forme algébrique Définitions Tout nombre complexe z s'écrit, de manière unique, sous la forme algébrique z = x + iy avec x et y réels, i étant un nombre complexe