Automorphisme

appelle automorphisme de E un isomorphisme de E dans e E. Rq. 24. Soit E un K-ev. Soit u un automorphisme de E. Alors u−1 est un automorphisme de E. Ex. 25. Soit E un K-ev. Alors l’identit´ de E est un automorphisme de E. e Notations 26. a) Soient E, F deux K-ev. On note LK (E, F ) l’ensemble des applications de E dans F qui sont lin´aires. e b) Soit E un K-ev. L’ensemble des endomorphismes de E, LK (E, E), est not´ LK (E). e c) Soit E un K-ev. On note GLK (E) l’ensemble des automorphismes de E. Rq

élément g de G donc H est normal dans G. Exercice 3 : Soit H un groupe ni non réduit à l'élément neutre. 1)Montrer que le centre de H est stable par automorphisme de H. 2)Montrer qu'il existe un élément h de H d'ordre un nombre premier. Soit G un groupe opérant dèlement sur H tel que, pour tout élément g de G, la permutation (h→g.h) est un automorphisme de H. 3)On suppose que G opère transitivement sur H\{1}. a)Montrer que tous les éléments de H, diérents de 1, sont d'ordre une puissance non nulle

. e o Dans la suite de cette partie, (U, V ) est un couple de matrices de GLn (K) v´rifiant (*) et tel que e χU et χV sont deux polynˆmes premiers entre eux. o Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et de base B, on d´signe par u et v les automorphismes e de E tels que U (respectivement V ) soit la matrice de u (respectivement v) dans la base B. Enfin on pose H = Ker(u − v). 20. Montrer que H est un hyperplan vectoriel de E. 21. Soit F = {0} un sous-espace vectoriel de E stable par u et par

d’ordre ps+1 de G qui contient H. Exercice 4 Soit G un groupe d’ordre 2p, o` u p est un nombre premier sup´erieur ou ´egal `a 3. Montrer que G contient un unique sous-groupe H d’ordre p et que ce sous-groupe est distingu´e. V´erifier que les seuls automorphismes d’ordre 2 d’un groupe cyclique d’ordre p sont l’identit´e et le passage `a l’inverse. En d´eduire que le groupe G est soit cyclique, soit non commutatif, auquel cas il poss`ede deux g´en´erateurs s et t v´erifiant les relations sp = 1, t2 = 1

ensembles munis des LCI ○ et ■. Une application f : E→F est un morphisme de (E, ○) dans (F, ■) si : ∀( ?, ?) ∈ ?², ?( ? ?) = ?(?)■?(?) Un isomorphisme est un morphisme bijectif. Un endomorphisme est un morphisme d’un ensemble dans lui-même. Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. GROUPE SOUS-GROUPE Un ensemble G muni d’une LCI ∗ est un groupe Une partie H non vide de (G,∗) est un soussi : groupe de G si : i. ∗ est une loi associative i. L’élément neutre de G appartient à H ii

morphisme de groupes. a) Montrer que pour tout sous-groupe H de G, f (H) est un sous-groupe de (G , ). b) Montrer que pour tout sous-groupe H de G , f −1 (H ) est un sous-groupe de (G, ). Exercice 5 [ 02222 ] [correction] On note Aut(G) l’ensemble des automorphismes d’un groupe (G, ). Montrer que Aut(G) est un sous-groupe de (S(G), ◦). Exercice 6 [ 02223 ] [correction] Soit (G, ) un groupe et a ∈ G. On définit une loi de composition interne sur G par x y = x a y. a) Montrer que (G, ) est un groupe. b) Soit

famille Φ(Ei,j ) 1 i,j n est une base de Mn (C). (a) Montrer que, pour tout (i, j) ∈ {1, . . . , n}2 , Tr Φ(A + B) − Φ(A) − Φ(B) Φ(Ei,j ) = 0. (b) En d´ duire que Φ(A + B) = Φ(A) + Φ(B). e 3. Montrer que Φ est lin´ aire puis justifier que c’est un automorphisme de Mn (C). e 4. Montrer que, pour tout couple (i, j) d’´ l´ ments distincts de {1, . . . , n}, la matrice Ei,j est ee nilpotente et en d´ duire qu’il en est de mˆ me pour la matrice Φ(Ei,j ). e e 5. Dans la suite de cette partie, on notera G =

Pr´ciser un majorant de la dimension de KE , en fonction de n = card(E). [ S ] e (b) Dans cette question, on va red´montrer que KE est un corps. e Soit x un ´l´ment non nul de KE . Pour tout y de KE , on pose ϕ(y) = xy. ee Montrer que ϕ est un automorphisme du Q-espace vectoriel KE . En d´duire que l’inverse dans R du r´el x est encore un ´l´ment de KE . Conclure. [ S ] e e ee 5. On va prouver, par r´currence sur n e Hn : 0, la propri´t´ Hn cidessous : ee Soit E ⊂ P, avec card(E) = n

λ.u(x) + µ.u(y) puis u(0E ) = 0F . Pour se faire repèrer comme n’apprenant pas son cours, il n’y a pas mieux. Vocabulaire Endomorphisme : application linéaire d’un espace vectoriel dans lui-même. Isomorphisme : application linéaire bijective. Automorphisme : endomophisme bijectif. Technique Pour répondre à la question usuelle « Montrer que u définit un endomorphisme de E », il faut montrer d’une part que si un vecteur x est dans E, u(x) est encore dans E puis que u est linéaire.Ne pas oublier le premier

exactement les mˆmes e e propri´t´s, relativement ` leurs lois respectives, et peuvent ˆtre consid´r´s comme deux ee a e ee repr´sentations diff´rentes d’une mˆme situation. e e e – Un isomorphisme de (E, ∗) sur lui-mˆme est appel´ un automorphisme de (E, ∗). e e Proposition (Isomorphisme r´ciproque) e Soit f un isomorphisme de (E, ∗) sur (F, T). Alors f −1 est un isomorphisme de (F, T) sur (E, ∗). Exemples – Le “passage au compl´mentaire” est un isomorphisme de (P(E), ∪) sur (P(E)